Esercizio Operatori lineari
Ciao ragazzi! Sto cercando di svolgere questo esercizio sugli opeatori lineari. Dice:
Sia $ X=C([a,b]) $ lo spazio di Banach delle funzioni continue sulll'intervallo [a,b] con la norma \( ||f||= sup |f(x)| \)
Su X si definisca l'operatore lineare B tale che, per ogni f appartenente a X:
\( B:f(x)\longrightarrow (Bf)(x) = \int_{a}^{b} H(x,y)f(y)\, dy \)
essendo $ H(x,y)in \mathcal(C)([a,b]xx [a,b]) $
A) si dimostri che B è continuo.
Il fatto è che non capisco bene il significato di questa scrittura \( B:f(x)\longrightarrow (Bf)(x) = \int_{a}^{b} H(x,y)f(y)\, dy \)
potreste dirmi cosa significa precisamente? Che spazio è quello a cui appartiene H ?
Vi ringrazio per la risposta
Sia $ X=C([a,b]) $ lo spazio di Banach delle funzioni continue sulll'intervallo [a,b] con la norma \( ||f||= sup |f(x)| \)
Su X si definisca l'operatore lineare B tale che, per ogni f appartenente a X:
\( B:f(x)\longrightarrow (Bf)(x) = \int_{a}^{b} H(x,y)f(y)\, dy \)
essendo $ H(x,y)in \mathcal(C)([a,b]xx [a,b]) $
A) si dimostri che B è continuo.
Il fatto è che non capisco bene il significato di questa scrittura \( B:f(x)\longrightarrow (Bf)(x) = \int_{a}^{b} H(x,y)f(y)\, dy \)
potreste dirmi cosa significa precisamente? Che spazio è quello a cui appartiene H ?
Vi ringrazio per la risposta
Risposte
La notazione significa semplicemente che \(Bf\) è la funzione definita in \([a,b]\) ponendo:
\[
Bf(x) := \intop_a^b H(x,y) f(y)\ \text{d} y
\]
per \(x\in [a,b]\).
Un operatore del tipo \(B\) è di solito chiamato operatore integrale a nucleo e la funzione \(H\) è chiamata nucleo di \(B\); nelle ipotesi in cui sei, \(H\) è una funzione continua definita nel rettangolo \([a,b]^2\).
La continuità di \(B\) si prova in un attimo, se hai ben chiaro cosa devi fare vedere... Prova.
\[
Bf(x) := \intop_a^b H(x,y) f(y)\ \text{d} y
\]
per \(x\in [a,b]\).
Un operatore del tipo \(B\) è di solito chiamato operatore integrale a nucleo e la funzione \(H\) è chiamata nucleo di \(B\); nelle ipotesi in cui sei, \(H\) è una funzione continua definita nel rettangolo \([a,b]^2\).
La continuità di \(B\) si prova in un attimo, se hai ben chiaro cosa devi fare vedere... Prova.
Grazie gugo82!
Il fatto è che faccio veramente fatica a immaginarmi che cosa sia un operatore,
È uno dei miei principali problemi. Voglio dire, all'atto pratico un operatore
che cosa fa?
Mentre in questo caso specifico, saresti in grado di dirmi cosa "combina"
questo operatore?
Il fatto è che faccio veramente fatica a immaginarmi che cosa sia un operatore,
È uno dei miei principali problemi. Voglio dire, all'atto pratico un operatore
che cosa fa?
Mentre in questo caso specifico, saresti in grado di dirmi cosa "combina"
questo operatore?
"fede16":
Il fatto è che faccio veramente fatica a immaginarmi che cosa sia un operatore.
È uno dei miei principali problemi. Voglio dire, all'atto pratico un operatore che cosa fa?
Un operatore è semplicemente una corrispondenza che ad un dato elemento di uno spazio vettoriale ne associa un altro in un altro spazio vettoriale... In pratica un operatore è una funzione tra spazi vettoriali.
La differenza di nomenclatura si spiega presto.
Storicamente, questo ramo dell'Analisi (cioè l'Analisi Funzionale) nasce per creare un ambiente astratto in cui racchiudere buona parte della teoria delle equazioni differenziali; pertanto gli spazi con cui si ha a che fare, tipicamente, sono spazi vettoriali i cui elementi sono funzioni. E converrai con me che dire \(B\) è la funzione che alla funzione \(f\) associa la funzione \(Bf\) è parechio cacofonico... Perciò al termine funzione, riferito ad applicazioni tra spazi funzionali, si preferisce il termine operatore.
"fede16":
Mentre in questo caso specifico, saresti in grado di dirmi cosa "combina" questo operatore?
Nel caso specifico \(B\) è l'operatore di \(C([a,b])\) in sé che associa alla generica funzione continua \(f\in C([a,b])\) la funzione \(Bf\in C([a,b])\) definita mediante l'assegnazione:
\[
Bf(x) := \intop_a^b H(x,y)\ f(y)\ \text{d} y
\]
per \(x\in [a,b]\).
Nota, per inciso, che la variabile \(x\) appare in \(Bf\) solo attraverso la \(H\); mentre l'argomento di \(B\), cioé la \(f\), serve come "peso" nel calcolo dell'integrale che definisce il valore di \(Bf(x)\).
***
Tornando all'esercizio, devi far vedere che \(B:C([a,b])\to C([a,b])\) è lineare e continuo.
Quindi devi fare tre cose:
[list=1][*:1h4xdh04] mostrare che per ogni \(f\in C([a,b])\) la funzione \(Bf\) (definita come sopra) è continua in \([a,b]\);
[/*:m:1h4xdh04]
[*:1h4xdh04] mostrare che per ogni \(f,g\in C([a,b])\) ed ogni \(\alpha,\beta \in \mathbb{R}\) hai \(B(\alpha f+\beta g)=\alpha\ Bf +\beta\ Bg\), ossia che vale l'uguaglianza:
\[
B(\alpha f+\beta g)(x)=\alpha\ Bf(x) +\beta\ Bg(x)
\]
per ogni \(x\in [a,b]\);
[/*:m:1h4xdh04]
[*:1h4xdh04] mostrare che per ogni \(f\in C([a,b])\) vale \(\|Bf\|_\infty \leq C\ \|f\|_\infty\) per un'opportuna costante \(C\geq 0\) (che dovrà dipendere in qualche modo da \(H\)), dove \(\|\cdot \|_\infty\) denota la "norma naturale" di \(C([a,b])\), cioé quella definita ponendo:
\[
\| u\|_\infty := \max_{x\in [a,b]} |u(x)|
\]
per \(u\in C([a,b])\).[/*:m:1h4xdh04][/list:o:1h4xdh04]
Prova un po' a vedere che ne riesci a tirar fuori.
ok...col tuo metodo ho capito cosa devo fare. Il mio libro però riporta questa soluzione:
a) Innanzitutto notiamo che B è ben definito, poichè, se $ H(x,y) in C( [a,b]xx [a,b] ) $ allora anche $ (Bf)(x) $
è continua su [a,b] quando f lo è. Inoltre si ha:
$ |(Bf)(x)|= |int_(a)^(b) H(x,y)f(y)dy| <= int_(a)^(b) H(x,y)f(y)dy <= $
$ <= ||f|| int_(a)^(b) H(x,y)dy <= $ \( (b-a)sup |H(x,y)| ||f|| = C_H||f|| \)
Per cui: \( ||Bf|| = sup |(Bf)(x)| \) $ <=C_H||f|| $
E' la stessa cosa?
Lui usa il sup invece del max, è la stessa cosa?
a) Innanzitutto notiamo che B è ben definito, poichè, se $ H(x,y) in C( [a,b]xx [a,b] ) $ allora anche $ (Bf)(x) $
è continua su [a,b] quando f lo è. Inoltre si ha:
$ |(Bf)(x)|= |int_(a)^(b) H(x,y)f(y)dy| <= int_(a)^(b) H(x,y)f(y)dy <= $
$ <= ||f|| int_(a)^(b) H(x,y)dy <= $ \( (b-a)sup |H(x,y)| ||f|| = C_H||f|| \)
Per cui: \( ||Bf|| = sup |(Bf)(x)| \) $ <=C_H||f|| $
E' la stessa cosa?
Lui usa il sup invece del max, è la stessa cosa?
"fede16":
ok...col tuo metodo ho capito cosa devo fare.
Non è il "mio metodo"... Quello che ho scritto è semplicemente ciò che devi fare per risolvere l'esercizio: infatti anche il tuo testo fa lo stesso.
"fede16":
Il mio libro però riporta questa soluzione:
a) Innanzitutto notiamo che B è ben definito, poichè, se $ H(x,y) in C( [a,b]xx [a,b] ) $ allora anche $ (Bf)(x) $
è continua su [a,b] quando f lo è.
Questa è una spiegazione brutta.
Infatti la continuità di \(f\) non gioca quasi alcun ruolo nella faccenda della continuità di \(Bf\): infatti, potresti prendere \(f\in L^1(a,b)\) ed ottenere ancora una \(Bf\) continua usando la stessa definizione.
Per provare la continuità di \(Bf\) in \([a,b]\) basta usare la continuità uniforme di \(H\) nel rettangolo \([a,b]^2\).
Infatti, scelto \(x_0\in [a,b]\) hai:
\[
\begin{split}
|Bf(x)-Bf(x_0)| &= \left| \intop_a^b H(x,y)\ f(y)\ \text{d} y - \intop_a^b H(x_0,y)\ f(y)\ \text{d} y \right|\\
&= \left| \intop_a^b \Big( H(x,y)- H(x_0,y)\Big)\ f(y)\ \text{d} y\right|\\
&\leq \intop_a^b \Big| H(x,y)- H(x_0,y)\Big|\ |f(y)|\ \text{d} y
\end{split}
\]
per continuità uniforme, fissato \(\varepsilon >0\), in corrispondenza di \(\frac{\varepsilon}{\int_a^b |f(y)|\ \text{d} y}\)* è possibile determinare \(\delta >0\) "sufficientemente piccolo" in modo che:
\[
\forall x\in ]x_0-\delta , x_0+\delta[,\ \forall y\in [a,b],\ |H(x,y)-H(x_0,y)|<\frac{\varepsilon}{\int_a^b |f(y)|\ \text{d} y}
\]
e ciò importa che:
\[
\begin{split}
\forall x\in ]x_0-\delta, x_0+\delta[,\ |Bf(x)-Bf(x_0)| &\leq \intop_a^b \Big| H(x,y)- H(x_0,y)\Big|\ |f(y)|\ \text{d} y \\
&< \intop_a^b \frac{\varepsilon}{\int_a^b |f(y)|\ \text{d} y}\ |f(y)|\ \text{d} y \\
&= \varepsilon
\end{split}
\]
che è la continuità di \(Bf\) in \(x_0\); l'arbitrarietà nella scelta di \(x_0\) permette di concludere.
"fede16":
Inoltre si ha:
$ |(Bf)(x)|= |int_(a)^(b) H(x,y)f(y)dy| <= int_(a)^(b) H(x,y)f(y)dy <= $
$ <= ||f|| int_(a)^(b) H(x,y)dy <= $ \( (b-a)sup |H(x,y)| ||f|| = C_H||f|| \)
Per cui: \( ||Bf|| = sup |(Bf)(x)| \) $ <=C_H||f|| $
E' la stessa cosa?
Lui usa il sup invece del max, è la stessa cosa?
Qui puoi benissimo risponderti da solo, usando Weierstrass.
__________
* Se \(|f(y)|=0\) in \([a,b]\), ossia se \(f\) è nulla in \([a,b]\), non c'è nulla da dimostrare: infatti, si vede subito che in tal caso anche \(Bf\) è identicamente nulla e perciò continua in \([a,b]\).
Direi che ho capito, grazie
Scusa una cosa gugo82 (mi dispiace chidere sempre a te), la parte B dell'esercizio dice:
B) Si calcoli $ e^(tB) $ nel caso in cui $ H(x,y) = 1 $
Non capisco cosa mi vuol far risolvere, cioè.. non ho capito proprio la richiesta. Sapresti dirmi cosa rappresenta $ e^(tB) $ ?
Scusa una cosa gugo82 (mi dispiace chidere sempre a te), la parte B dell'esercizio dice:
B) Si calcoli $ e^(tB) $ nel caso in cui $ H(x,y) = 1 $
Non capisco cosa mi vuol far risolvere, cioè.. non ho capito proprio la richiesta. Sapresti dirmi cosa rappresenta $ e^(tB) $ ?
Te l'ho detto, non l'ho capito nemmeno io.
Infatti, non riesco ad immaginare cosa bisogna intendere con \(B\) ed \(H\) nel tuo caso.
(Non è che questo esercizio è legato a qualche esercizio precedente?)
Però di solito gli operatori composti si definiscono usando i valori spettrali o le serie di operatori... Ad esempio, se \(B\) è un operatore lineare di \(\mathbb{R}^N\) in sé, l'operatore \(e^{tB}\) è definito come "somma" della serie esponenziale:
\[
e^{tB}:= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ (tB)^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}\ B^n
\]
in cui \(B^n=\underbrace{B\cdot B\cdots B}_{n \text{ volte}}\); in particolare, l'operatore \(e^{tB}\) agisce sul vettore \(x\) come segue:
\[
e^{tB} (x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}\ B^n(x) = \lim_n \sum_{k=0}^n \frac{t^k}{k!}\ B^k(x)
\]
(queste sono cose che di solito si vedono in Automazione o Analisi dei Sistemi, ad Ingegneria, oppure nei corsi avanzati sulle equazioni differenziali per i matematici).
Perciò dovresti aspettarti lo stesso per gli operatori tra spazi funzionali. Probabilmente, sul libro di teoria troverai la definizione che fa per te.
P.S.: Che libro usi?
Infatti, non riesco ad immaginare cosa bisogna intendere con \(B\) ed \(H\) nel tuo caso.
(Non è che questo esercizio è legato a qualche esercizio precedente?)
Però di solito gli operatori composti si definiscono usando i valori spettrali o le serie di operatori... Ad esempio, se \(B\) è un operatore lineare di \(\mathbb{R}^N\) in sé, l'operatore \(e^{tB}\) è definito come "somma" della serie esponenziale:
\[
e^{tB}:= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ (tB)^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}\ B^n
\]
in cui \(B^n=\underbrace{B\cdot B\cdots B}_{n \text{ volte}}\); in particolare, l'operatore \(e^{tB}\) agisce sul vettore \(x\) come segue:
\[
e^{tB} (x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}\ B^n(x) = \lim_n \sum_{k=0}^n \frac{t^k}{k!}\ B^k(x)
\]
(queste sono cose che di solito si vedono in Automazione o Analisi dei Sistemi, ad Ingegneria, oppure nei corsi avanzati sulle equazioni differenziali per i matematici).
Perciò dovresti aspettarti lo stesso per gli operatori tra spazi funzionali. Probabilmente, sul libro di teoria troverai la definizione che fa per te.
P.S.: Che libro usi?
Ok grazie! Adesso ci guardo subito!
Comunque uso le dispense del mio professore... il corso si chiama "Metodi matematici della fisica" :'(
Comunque uso le dispense del mio professore... il corso si chiama "Metodi matematici della fisica" :'(
"fede16":
Ok grazie! Adesso ci guardo subito!
Cosa che avresti dovuto fare subito, anche prima di chiedere sul forum...
"fede16":
Comunque uso le dispense del mio professore... il corso si chiama "Metodi matematici della fisica" :'(
Beh, usualmente le dispense non "dispensano" dal consultare anche i libri di testo segnalati in calce al programma del corso o consigliati in aula.
Gugo82 ci ho guardato! Sul mio libro non mette nulla di più della definizione che mi hai dato tu...
Ti riporto qui la soluzione del libro del punto 2. Io non ci ho capito niente. Dice:
B) si calcoli $ e^(tB) $ nel caso in cui $ H(x,y)=1 $
In questo caso si ha, per ogni $ f in X $ :
$ (Bf)(x)= int _a^bf(y)dy $
$ (B^2f)(x)= int _a^bdz int _a^bf(y)dy = (b-a)(Bf)(x) $
.
.
.
$ (B^nf)(x)= int _a^bdz (B^(n-1)f)(x)=(b-a)^(n-1)(Bf)(x) $
da cui:
$ e^(tB)(f) = sum_(n=0)^oo [(tB)^n(f)]=f +t(Bf)+1/(2!)t^2(b-a)(Bf)+1/(3!)t^3(b-a)^2(Bf)+.. $
$ =f+1/(b-a)[t(b-a)+1/(2!)t^2(b-a)^2+1/(3!)t^3(b-a)^3+...](Bf) $
= $ =f+ (e^((b-a)t)-1)/(b-a)(Bf) $
ovvero $ e^(tB) = 1+ (e^((b-a)t)-1)/(b-a)B $
Perchè prende in considerazione quegli integrali inizial? a cosa servono?
Ti riporto qui la soluzione del libro del punto 2. Io non ci ho capito niente. Dice:
B) si calcoli $ e^(tB) $ nel caso in cui $ H(x,y)=1 $
In questo caso si ha, per ogni $ f in X $ :
$ (Bf)(x)= int _a^bf(y)dy $
$ (B^2f)(x)= int _a^bdz int _a^bf(y)dy = (b-a)(Bf)(x) $
.
.
.
$ (B^nf)(x)= int _a^bdz (B^(n-1)f)(x)=(b-a)^(n-1)(Bf)(x) $
da cui:
$ e^(tB)(f) = sum_(n=0)^oo [(tB)^n(f)]=f +t(Bf)+1/(2!)t^2(b-a)(Bf)+1/(3!)t^3(b-a)^2(Bf)+.. $
$ =f+1/(b-a)[t(b-a)+1/(2!)t^2(b-a)^2+1/(3!)t^3(b-a)^3+...](Bf) $
= $ =f+ (e^((b-a)t)-1)/(b-a)(Bf) $
ovvero $ e^(tB) = 1+ (e^((b-a)t)-1)/(b-a)B $
Perchè prende in considerazione quegli integrali inizial? a cosa servono?
@ fede16: Mmmm... Adesso ho capito cos'era che non andava.
Avevo confuso il punto (B) di questo esercizio col punto (B) dell'altro esercizio riportato qui.
Mentre nell'altro esercizio la richiesta del problema è del tutto insensata, nel problema trattato qui la richiesta è sensata.
Invero, nel caso \(H(x,y):=1\), la tua \(B\) è un'applicazione di \(C([a,b])\) in \(C([a,b])\) che associa ad ogni funzione una funzione costante, cioé la funzione \(Bf:[a,b]\to \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
Bf(x):= \int_a^b f(y)\ \text{d} y\; .
\]
Per definizione, allora, \(e^{tB}\) è l'operatore definito in \(C([a,b])\) ponendo:
\[
e^{tB}f := \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}\ B^nf
\]
in cui \(B^n:=\underbrace{B\cdot B\cdots B}_{n \text{ volte}}\) è l'iterata \(n\)-esima di \(B\), cioé l'operatore che si ottiene componendo \(n\) volte la \(B\) con se stessa (va da sé che per \(n=0\) si pone per definizione \(B^0=I\), con \(I\) l'operatore identità di \(C([a,b])\)).
Allora per determinare \(e^{tB}\) devi cercare di scrivere esplicitamente le iterate di \(B\).
Chiaramente:
\[
B^0f=If=f
\]
e (omettendo per comodità la variabile di integrazione):
\[
B^1f=Bf=\int_a^b f\; ;
\]
per \(n=2\) hai:
\[
B^2f = B(Bf) =\int_a^b Bf(y)\ \text{d}y
\]
ma, essendo \(Bf(y)=\int_a^b f\) (che è una costante!), dalla precedente segue:
\[
B^2f= \int_a^b \left( \int_a^b f\right)\ \text{d} y = \left( \int_a^b f\right)\ \int_a^b \text{d} y = (b-a)\ \left( \int_a^b f\right)\; .
\]
Analogamente:
\[
B^3f= B(B^2f) =\int_a^b B^2f(y)\ \text{d}y = (b-a)\ \left( \int_a^b f\right)\ \int_a^b \text{d} y = (b-a)^2\ \left( \int_a^b f\right)
\]
e:
\[
B^4f= B(B^3f) =\int_a^b B^3f(y)\ \text{d}y = (b-a)^2\ \left( \int_a^b f\right)\ \int_a^b \text{d} y = (b-a)^3\ \left( \int_a^b f\right)
\]
etc... Ragionando per ricorrenza vedi che:
\[
B^nf=(b-a)^{n-1} \left( \int_a^b f\right)
\]
per \(n\geq 1\) (questo lo devi provare per induzione, ovviamente).
Conseguentemente:
\[
\begin{split}
e^{tB}f &= \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}\ B^nf\\
&=If+\sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{n!}\ B^nf\\
&= f+ \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{n!}\ B^nf\\
&= f+ \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{n!}\ (b-a)^{n-1} \left( \int_a^b f\right)\\
&= f+\left( \int_a^b f\right)\ \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{n!}\ (b-a)^{n-1}\\
&= f+\left( \int_a^b f\right)\ \frac{1}{b-a}\ \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{n!}\ (b-a)^n\\
&= f+\left( \int_a^b f\right)\ \frac{1}{b-a}\ \left( \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}\ (b-a)^n -1 \right)\\
&= f+\left( \int_a^b f\right)\ \frac{1}{b-a}\ (e^{(b-a)\ t} -1)\\
&= f+ \frac{e^{(b-a)t} -1}{b-a}\ Bf\\
&= \left( I+ \frac{e^{(b-a)t} -1}{b-a}\ B\right)\ f\; ,
\end{split}
\]
quindi l'operatore \(e^{tB}\) agisce su \(f\) come somma dell'identità e di un multiplo di \(B\):
\[
e^{tB} = I + \frac{e^{(b-a)t} -1}{b-a}\ B\; .
\]
Insomma \(e^{tB}\) trasforma \(f\) in una funzione che differisce da \(f\) per un'opportuna costante (dipendente da \(f\) e dal parametro \(t\)).
Avevo confuso il punto (B) di questo esercizio col punto (B) dell'altro esercizio riportato qui.
Mentre nell'altro esercizio la richiesta del problema è del tutto insensata, nel problema trattato qui la richiesta è sensata.
Invero, nel caso \(H(x,y):=1\), la tua \(B\) è un'applicazione di \(C([a,b])\) in \(C([a,b])\) che associa ad ogni funzione una funzione costante, cioé la funzione \(Bf:[a,b]\to \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
Bf(x):= \int_a^b f(y)\ \text{d} y\; .
\]
Per definizione, allora, \(e^{tB}\) è l'operatore definito in \(C([a,b])\) ponendo:
\[
e^{tB}f := \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}\ B^nf
\]
in cui \(B^n:=\underbrace{B\cdot B\cdots B}_{n \text{ volte}}\) è l'iterata \(n\)-esima di \(B\), cioé l'operatore che si ottiene componendo \(n\) volte la \(B\) con se stessa (va da sé che per \(n=0\) si pone per definizione \(B^0=I\), con \(I\) l'operatore identità di \(C([a,b])\)).
Allora per determinare \(e^{tB}\) devi cercare di scrivere esplicitamente le iterate di \(B\).
Chiaramente:
\[
B^0f=If=f
\]
e (omettendo per comodità la variabile di integrazione):
\[
B^1f=Bf=\int_a^b f\; ;
\]
per \(n=2\) hai:
\[
B^2f = B(Bf) =\int_a^b Bf(y)\ \text{d}y
\]
ma, essendo \(Bf(y)=\int_a^b f\) (che è una costante!), dalla precedente segue:
\[
B^2f= \int_a^b \left( \int_a^b f\right)\ \text{d} y = \left( \int_a^b f\right)\ \int_a^b \text{d} y = (b-a)\ \left( \int_a^b f\right)\; .
\]
Analogamente:
\[
B^3f= B(B^2f) =\int_a^b B^2f(y)\ \text{d}y = (b-a)\ \left( \int_a^b f\right)\ \int_a^b \text{d} y = (b-a)^2\ \left( \int_a^b f\right)
\]
e:
\[
B^4f= B(B^3f) =\int_a^b B^3f(y)\ \text{d}y = (b-a)^2\ \left( \int_a^b f\right)\ \int_a^b \text{d} y = (b-a)^3\ \left( \int_a^b f\right)
\]
etc... Ragionando per ricorrenza vedi che:
\[
B^nf=(b-a)^{n-1} \left( \int_a^b f\right)
\]
per \(n\geq 1\) (questo lo devi provare per induzione, ovviamente).
Conseguentemente:
\[
\begin{split}
e^{tB}f &= \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}\ B^nf\\
&=If+\sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{n!}\ B^nf\\
&= f+ \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{n!}\ B^nf\\
&= f+ \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{n!}\ (b-a)^{n-1} \left( \int_a^b f\right)\\
&= f+\left( \int_a^b f\right)\ \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{n!}\ (b-a)^{n-1}\\
&= f+\left( \int_a^b f\right)\ \frac{1}{b-a}\ \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{n!}\ (b-a)^n\\
&= f+\left( \int_a^b f\right)\ \frac{1}{b-a}\ \left( \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}\ (b-a)^n -1 \right)\\
&= f+\left( \int_a^b f\right)\ \frac{1}{b-a}\ (e^{(b-a)\ t} -1)\\
&= f+ \frac{e^{(b-a)t} -1}{b-a}\ Bf\\
&= \left( I+ \frac{e^{(b-a)t} -1}{b-a}\ B\right)\ f\; ,
\end{split}
\]
quindi l'operatore \(e^{tB}\) agisce su \(f\) come somma dell'identità e di un multiplo di \(B\):
\[
e^{tB} = I + \frac{e^{(b-a)t} -1}{b-a}\ B\; .
\]
Insomma \(e^{tB}\) trasforma \(f\) in una funzione che differisce da \(f\) per un'opportuna costante (dipendente da \(f\) e dal parametro \(t\)).
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