Esercizio operatore in spazi $l^2$

[saturas1]

Ciao a tutti,
spero sia la sezione giusta. Volevo sottoporvi il seguente esercizio, lo scrivo così come riportato dal testo dell'esame:

"Si consideri l'operatore in l² così definito
T(e[size=50]n[/size])=cos(\(\displaystyle \alpha \)n)e[size=50]n[/size]

dove e[size=50]n[/size] è un set ortonormale completo in l², con n=1,2,3...

- Al variare di \(\displaystyle \alpha \) \(\displaystyle \in \) R, si determini il ker(T) e la sua dimensione.
- Al variare di \(\displaystyle \alpha \) \(\displaystyle \in \) C, si determini il ker(T) e la sua dimensione.
- Si dica se esistono valori di \(\displaystyle \alpha \) \(\displaystyle \in \) C per cui T è autoaggiunto (e si specifichi quali) (suggerimento: può essere utile separare parte reale e immaginaria del coseno).
- Si dica se esistono valori di \(\displaystyle \alpha \) \(\displaystyle \in \) C per cui T è unitario (e si specifichi quali).
- Si dica se T è continuo per \(\displaystyle \alpha \) reale e per \(\displaystyle \alpha \) immaginario. Se non lo è si trovi un controesempio (cioè una successione convergente di elementi x[size=50]k[/size] di l²su cui T non è continuo).
- Qual è la Im[T] se \(\displaystyle \alpha \) è immaginario?"

Grazie in anticipo. Confido in una vostra risposta.

Saturas

[Seneca1]

Come da [regolamento]1_2[/regolamento], devi riportare anche quali sono i tuoi dubbi specifici e mostrare un tentativo di risoluzione.
[xdom="Seneca"]Sposto in Analisi Matematica.[/xdom]

[saturas1]

Non riesco a capire come sia fatto questo operatore e come trovare il Ker. Devo applicare la definizione che ho studiato anche in Algebra Lineare, cioè che il nucleo è la controimmagine del vettore nullo? Se sì come dovrei procedere?
Per i due punti successivi, cioè trovare se è autoaggiunto e unitario, si applicano le definizioni.