Esercizio o piccolo
Buongiorno a tutti! Sto cercando di risolvere questo esercizio:
Trovare un controesempio alla seguente affermazione:
se $ a_n=b_n+o(1) $ allora $ a_n ~ b_n $
le successioni sono positive.
Riesco solo a trovare un esempio per cui sia vera, ovvero $ a_n = b_n $. Ma non riesco a dire che la prima è falsa e la seconda è vera comunque.
Come posso fare?
Grazie in anticipo
Trovare un controesempio alla seguente affermazione:
se $ a_n=b_n+o(1) $ allora $ a_n ~ b_n $
le successioni sono positive.
Riesco solo a trovare un esempio per cui sia vera, ovvero $ a_n = b_n $. Ma non riesco a dire che la prima è falsa e la seconda è vera comunque.
Come posso fare?
Grazie in anticipo
Risposte
Come ti è stato definito il simbolo \(\sim\)?
Così:
$a_n ~ b_n $ se $ lim_(n -> +oo)a_n/b_n=1 $
$a_n ~ b_n $ se $ lim_(n -> +oo)a_n/b_n=1 $
"andrea.19":
Così:
$ a_n ~ b_n $ se $ lim_(n -> +oo)a_n/b_n=1 $
Che equivale a \(a_n = b_n + \text{o}(b_n)\), no?
Questo dovrebbe essere sufficiente a costruire un controesempio.
Effettivamente non avevo pensato alla definizione di asintotico attraverso o piccolo. E' certo che la mancanza è mia, ma così a occhio non riesco a farmi venire in mente un controesempio. Ragionando sulle due espressioni arrivo a questo:
se $ a_n = b_n + o(1) $ allora $ a_n = b_n+o(b_n) $
quindi $ b_n + o(1) = b_n+o(b_n) $
$ o(1) = o(b_n) $ che vorrebbe dire: $ lim_(n -> +oo)(o(1))/b_n->0$
Ma vorrebbe dire che è vera quindi credo ci sia qualcosa di sbagliato
se $ a_n = b_n + o(1) $ allora $ a_n = b_n+o(b_n) $
quindi $ b_n + o(1) = b_n+o(b_n) $
$ o(1) = o(b_n) $ che vorrebbe dire: $ lim_(n -> +oo)(o(1))/b_n->0$
Ma vorrebbe dire che è vera quindi credo ci sia qualcosa di sbagliato
Qundi, tentando un ragionamento, sei arrivato a concludere che la tua tesi è vera se vale la "ugualianza" \(\text{o}(b_n)=\text{o}(1)\).
Questa "uguaglianza" è un po' strana, non trovi?
Infatti essa ti sta dicendo che qualunque successione infinitesima (cioé qualunque successione che è un \(\text{o}(1)\)) è infinitesima d'ordine superiore a \((b_n)\)... Ma ciò sembra abbastanza assurdo.
Quindi puoi benissimo farti dell'idea che il teorema sia falso e cercare un controesempio.
Come lo cerchi?
Beh, ti basta trovare una successione \((a_n)\) che differisca da una fissata successione \((b_n)\) per un infinitesimo che non è d'ordine superiore a \((b_n)\).
Ad esempio, se prendi \(b_n:=1/n^2\), riesci a determinare una successione \((a_n)\) del tipo appena detto?
Questa "uguaglianza" è un po' strana, non trovi?
Infatti essa ti sta dicendo che qualunque successione infinitesima (cioé qualunque successione che è un \(\text{o}(1)\)) è infinitesima d'ordine superiore a \((b_n)\)... Ma ciò sembra abbastanza assurdo.
Quindi puoi benissimo farti dell'idea che il teorema sia falso e cercare un controesempio.
Come lo cerchi?
Beh, ti basta trovare una successione \((a_n)\) che differisca da una fissata successione \((b_n)\) per un infinitesimo che non è d'ordine superiore a \((b_n)\).
Ad esempio, se prendi \(b_n:=1/n^2\), riesci a determinare una successione \((a_n)\) del tipo appena detto?
Ok forse ho capito.
Fisso $b_n=1/n^2$.
Dato che deve valere $a_n= 1/n^2+o(1)$, posso usare la definizione di o piccolo e dire che $lim_(n->+oo)(a_n-1/n^2)/1->0$.
In sostanza devo trovare un $a_n$ che per $n->oo$ tenda a 0 ma che non sia asintotico a $b_n=1/n^2$.
Ad esempio $a_n=e^(-n)$.
Corretto?
Fisso $b_n=1/n^2$.
Dato che deve valere $a_n= 1/n^2+o(1)$, posso usare la definizione di o piccolo e dire che $lim_(n->+oo)(a_n-1/n^2)/1->0$.
In sostanza devo trovare un $a_n$ che per $n->oo$ tenda a 0 ma che non sia asintotico a $b_n=1/n^2$.
Ad esempio $a_n=e^(-n)$.
Corretto?
E che c'entra la \(x\)?
Inoltre, se vuoi costruire un controesempio devi trovare \(a_n\) in modo che:
\[
\lim_n a_n - b_n =0 \neq \lim_n \frac{a_n -b_n}{b_n}\; .
\]
Inoltre, se vuoi costruire un controesempio devi trovare \(a_n\) in modo che:
\[
\lim_n a_n - b_n =0 \neq \lim_n \frac{a_n -b_n}{b_n}\; .
\]
Si scusa intendevo $n$, ho scritto $x$ per sbaglio!
Ma alla fine quello che affermi tu non è la stessa cosa che ho detto io?
$lim_(n->+oo)(a_n-b_n)=lim_(n->+oo)(1/e^n-1/n^2)->0$
Ma alla fine quello che affermi tu non è la stessa cosa che ho detto io?
$lim_(n->+oo)(a_n-b_n)=lim_(n->+oo)(1/e^n-1/n^2)->0$
Ok, hai dimostrato che \(a_n-b_n=\text{o}(1)\), sicché la \(a_n\) soddisfa la tua ipotesi.
Adesso devi chiederti se essa non soddisfa la tesi, cioé \(a_n-b_n\neq \text{o}(b_n)\)... Poiché, dopotutto, vuoi costruire un controesempio.
Adesso devi chiederti se essa non soddisfa la tesi, cioé \(a_n-b_n\neq \text{o}(b_n)\)... Poiché, dopotutto, vuoi costruire un controesempio.
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