Esercizio numero complesso in formula algebrica

[n.tavaglione96]

ciao a tutti, mi sto trovando in difficoltà a scrivere questo numero complesso in forma algebrica:
z= (1-i)^5 / (sqrt(3) + i)^3

potete aiutarmi?
grazie

(1-i)^5= (1-i)^3 (1-i)^2= [1^3+ 2(1)^2(-i)+2(1)(-i)^2+ (-i)^3](1-2i-1)=(1-2i-2-i)(1-2i-1)=(-1-3i)(0-2i)= (0-6)+i(2+0)= -6+2i

(sqrt(3) + i)^3 = (sqrt(3) + i)^2(sqrt(3) + i) = {3+2[sqrt(3)]i-1}(sqrt(3) + i) = [2+2sqrt(3)i](sqrt(3) + i) =
=[2sqrt(3)-2sqrt(3)]+i(2+6) = 8i

z= 2(-3+i) / 2(4i) = -3+i / 4i = (-3+i)4i / 4i(4i) = -4-12i / -16 = (1+3i) / 3 = 1/3 + i


ma sia i siti su internet che il libro lo da sbagliato

[axpgn]

Sviluppa le due potenze e vedrai che si semplifica parecchio ...
Poni $z=a+ib$ e poi eguaglia la parte reale con la parte reale e lo stesso con quella immaginaria ...

[orsoulx]

$ (\sqrt 3 +i)^3 $ è esatta, non così $ (1-i)^5 $. Se calcoli $ ((1-i)^2)^2 $ è molto più facile e arrivi a $ z=-(1-i)/(2i) $. Per finire basta poco.
Ciao
B.

[axpgn]

@milton
Non conosci lo sviluppo della potenza di un binomio? Coefficienti binomiali? Triangolo di Tartaglia? ... non bene ...

Certamente nei complessi le scorciatoie come quella indicata da orsoulx aiutano parecchio ma lo sviluppo della potenza di un binomio è da sapere ...

$(1-i)^5=1^5*i^0-5*1^4*i^1+10*1^3*i^2-10*1^2*i^3+5*1^1*i^4-1^0*i^5=$

$1-5i+10*(-1)-10*(-i)+5-i=1-5i-10+10i+5-i=4i-4$

Cordialmente, Alex

[n.tavaglione96]

no, la formula della potenza di un binomio non la conoscevo perché nelle scuole non l'hanno mai spiegato, ora per comodità me la imparerò.
grazie a tutti per le vostre risposte

[axpgn]

Impossibile, non ci credo ... ... cosa stai studiando?