Esercizio numero complesso

[severo2]

Ciao ragazzi, non riesco a risolvere questo esercizio:
$ 1+2z^7= sqrt(3)i $

ho portato tutto al secondo membro e ottengo
$ z^7= (isqrt(3))/2 -1/2 $

a questo punto mi sono calcolato il modulo e e l'argomento del numero complesso, per poi poter applicare la formula di de moivre dell'estrazione di radice.

il modulo mi viene
$ sqrt((sqrt3/2)^2+(1/2)^2 = 1 $

mentre l'argomento
$ cos Theta =-1/2 $
$ senTheta =sqrt(3/2) $

quindi mi viene $ Theta= 2/3pi $

ora quando vado ad applicare la formula di de moivre mi viene un angolo stranissimo

$ z0=1(cos(2/3pi)/7 + i sen(2/3pi)/7) $ con k=0
ora l'angolo qui è pari a $ 2/21pi $ ma non è un angolo notevole e anche quando k = 1 2 3 4 5 6
mi ritovo a calcolare il seno e il coseno di angoli non notevoli

come faccio ad estrarre le radici settime di questo numero complesso?

vi ringrazio in anticipo

[@melia]

A parte qualche difficoltà con la scrittura, l'esercizio è svolto correttamente.
Le soluzioni vanno lasciate in forma goniometrica perché gli angoli non sono tra quelli notevoli.

[severo2]

Anche io avevo pensato di lasciarle in forma trigonometrica, ma sono costretto a scegliere tra quattro soluzioni:
$ -sqrt(3)/2 + i/2 $
$ -1+(isqrt(3))/2 $
$ 1/2- (isqrt(3))/2 $
$-(sqrt(3)/2 + i/2) $

come faccio a questo punto a scegliere la soluzione corretta?

[@melia]

la soluzione con $k=4$ semplifica l'angolo che viene $14/21 pi =2/3pi$, direi la prima risposta è quella corretta.