Esercizio numeri complessi

[rodrigoruiz1]

Buongiorno, la settima prossima ho l'esame di analisi 1 e ho un po' di dubbi.
Il testo è il seguente:
(z = z coniugato non sapevo come scriverlo)

(2z^2+4zz-2z-6)(-z^3-8 )=0

Ho scritto z=a+ib ma non credo sia la strada giusta da seguire perchè mi vengono una marea di conti e magari c'era qualcos'altro di più veloce.

(2(a+ib)^2 +4 (a^2-b^2)- 2(a-ib)-6) (-(a+ib)^3-2^3)=0 da lì continuo con i calcoli ma ad un certo punto mi blocco e non so più che fare.

Grazie in anticipo.

(nelle anteprime mi va il codice html ma quando lo pubblico no)

Aggiunto 8 minuti più tardi:

mi blocco qui:

(6a^2-6b^2-2a+2bi+4abi-6)(-(a+ib-2)((a+ib^2+2a+2bi+4))=0

[carlogiannini]

Intanto NON devi moltiplicare, perché per la legge di annullamento del prodotto DEVE essere ZERO almeno uno dei fattori.
Prendiamo il secondo "fattore":

[math](-z^3-8 ) =0\\z^3=-8\\z=\sqrt[3]{-8}=\sqrt[3]{8}\cdot \sqrt[3]{-1}=2i\\[/math]

.
.
Ora prendiamo l'altro "fattore"

[math]2z^2+4z\overline{z}-2\overline{z}-6=0\\semplifico\\z^2+2z\overline{z}-\overline{z}-3=0\\sostituiamo\\z=a+bi\\(a+bi)^2+2(a+bi)(a-bi)-(a-bi)-3=0\\a^2-b^2+2abi+2(a^2+b^2)-a+bi-3=0\\raccogliamo\ parte\ reale\ e\ parte\ immaginaria:\\(3a^2+b^2-a-3)+(2ab+b)i=0\\[/math]

.
Salvo errori ed omissioni (controlla i calcoli).
.
Ora, un numero complesso "a+bi" è ZERO se e solo se sono ZERO sia "a" che "b".
Quindi metti a sistema

[math]3a^2+b^2-a-3=0\\2ab+b=0\\dalla\ seconda\ trovi\\b=0\\a=-\frac{1}{2}[/math]

.
.
Fai le sostituzioni ed il gioco è fatto.
N.B.
Sostituendo "b" trovi una equazione di secondo grado in "a" che ti darà DUE soluzioni.
Sostituendo "a" trovi una eq. di secondo grado in "b" che ti darà ALTRE DUE soluzioni.
Con la prima trovata avrai in totale CINQUE soluzioni, in accordo col Teorema fondamentale dell'Algebra che dice:
Ogni polinomio (a coefficienti complessi) di grado "n" ha nel Campo Complesso ESATTAMENTE "n" radici(distinte e/o coincidenti)
[aggiungo: tra numeri Reali, Immaginari e Complessi]

[rodrigoruiz1]

ok ho capito quindi alla fine i risultati sono i vari abbinamenti fra le soluzioni dell'equazione di secondo grado e il corrispettivo valore di sostituzione per esempio : b=0,a=1 ; b=0,a=2 (con 1,2 i risultati della prima equazione sostituendo a b=0) e la stessa cosa vale per l'altro giusto? e alla fine avrei 5 risultati perchè il primo fattore è di grado 2 e il secondo è di grado 3 (se non ho capito male)

[Studente Anonimo]

Anche qui mi tocca riaprire perché la risposta fornita non è del tutto corretta.

Data la seguente equazione complessa:

[math]\left(-z^3 - 8\right)\left(2\,z^2 + 4\,z\,\bar{z} - 2\,\bar{z} - 6\right) = 0\\[/math]

per quanto concerne l'annullamento del primo fattore, si ha:

[math]z^3 = - 8\\[/math]

da cui:

[math]\small \begin{aligned}

& z_1 = \sqrt[3]{|-8|}\left[ \cos\left(\frac{\pi + 2\cdot 0\cdot \pi}{3}\right) + \text{i}\,\sin\left(\frac{\pi + 2\cdot 0\cdot \pi}{3}\right) \right] = 1 + \text{i}\,\sqrt{3} \; ; \\

& z_2 = \sqrt[3]{|-8|}\left[ \cos\left(\frac{\pi + 2\cdot 1\cdot \pi}{3}\right) + \text{i}\,\sin\left(\frac{\pi + 2\cdot 1\cdot \pi}{3}\right) \right] = - 2 \; ; \\

& z_3 = \sqrt[3]{|-8|}\left[ \cos\left(\frac{\pi + 2\cdot 2\cdot \pi}{3}\right) + \text{i}\,\sin\left(\frac{\pi + 2\cdot 2\cdot \pi}{3}\right) \right] = 1 - \text{i}\,\sqrt{3} \; ;

\end{aligned}\\[/math]

mentre, per quanto concerne l'annullamento del secondo
fattore, dati

[math]x,\,y \in \mathbb{R}[/math]

e ponendo

[math]z := x + \text{i}\,y\\[/math]

, si ha:

[math]2\,(x + \text{i}\,y)^2 + 4\,(x + \text{i}\,y)\,(x - \text{i}\,y) - 2\,(x - \text{i}\,y) - 6 = 0\\[/math]

che manipolata un attimino porge:

[math]2\left(3\,x^2 + y^2 - x - 3\right) + \text{i}\,[2\,y\,(2x + 1)] = 0 \; .\\[/math]

Quest'ultima equazione è verificata se e soltanto se:

[math]\begin{cases} 2\left(3\,x^2 + y^2 - x - 3\right) = 0 \\ 2\,y\,(2x + 1) = 0 \end{cases} \; \; \Leftrightarrow \; \begin{aligned} & x = - \frac{1}{2} \, \land y = \pm \frac{\sqrt{7}}{2} \\ & \vee \\ & x = \frac{1 \pm \sqrt{37}}{6} \, \land \, y = 0 \end{aligned}\\[/math]

e quindi l'equazione in esame presenta altre quattro radici:

[math]\small \begin{aligned}

& z_4 = - \frac{1}{2} - \text{i}\,\frac{\sqrt{7}}{2} \; ; \\

& z_5 = - \frac{1}{2} + \text{i}\,\frac{\sqrt{7}}{2} \; ; \\

& z_6 = \frac{1 - \sqrt{37}}{6} \; ; \\

& z_7 = \frac{1 + \sqrt{37}}{6} \; .

\end{aligned}\\[/math]

Spero sia sufficientemente chiaro. ;)

[rodrigoruiz1]

Perfetto! Grazie