Esercizio numeri complessi
Ecco un esercizio di una prova d'esame di Analisi 3:
Sia [tex]z[/tex] un numero complesso non nullo.
1) Scrivere in forma algebrica i numeri complessi
[tex]$\log(iz^{3})$[/tex]
e calcolarli esplicitamente nel caso di [tex]$z=-3+4i$[/tex]
2) Determinare l'insieme [tex]$E$[/tex] dei numeri complessi [tex]$z$[/tex] per cui i numeri
[tex]$\lvert z \rvert+\log(iz^{3})$[/tex]
sono immaginari puri. Segnare l'immagine di [tex]$E$[/tex] sul piano di Argand-Gauss.
3) Trovare i numeri di [tex]$E$[/tex] per cui uno dei valori di
[tex]$\lvert z \rvert+\log(iz^{3})$[/tex]
è uguale a [tex]$2i$[/tex].
Svolgimento
1) [tex]$z=\rho e^{i\theta} \Rightarrow iz^{3}=e^{i\frac{\pi}{2}}\rho^{3}e^{(3\theta+\frac{\pi}{2})i}$[/tex]
Dunque
[tex]$\log(iz^{3})=3\log\rho+i(3\theta+\frac{\pi}{2}+2k\pi)$[/tex]
Se [tex]$z=-3+4i$[/tex] abbiamo [tex]$\rho=5$[/tex] e [tex]$\theta=\pi-\arctan(\frac{4}{3})$[/tex] e [tex]$\log(iz^{3})=3\log5+(-3\arctan(\frac{4}{3})+\frac{7}{2}\pi+2k\pi)$[/tex]
2) [tex]$\lvert z \rvert+\log(iz^{3})=\rho+3\log(\rho)+i(3\theta+\frac{\pi}{2}+2k\pi)$[/tex] Perché siano immaginari puri si deve avere [tex]$\rho+3\log(\rho)=0$[/tex] e qui mi blocco. Come posso risolvere?
Sia [tex]z[/tex] un numero complesso non nullo.
1) Scrivere in forma algebrica i numeri complessi
[tex]$\log(iz^{3})$[/tex]
e calcolarli esplicitamente nel caso di [tex]$z=-3+4i$[/tex]
2) Determinare l'insieme [tex]$E$[/tex] dei numeri complessi [tex]$z$[/tex] per cui i numeri
[tex]$\lvert z \rvert+\log(iz^{3})$[/tex]
sono immaginari puri. Segnare l'immagine di [tex]$E$[/tex] sul piano di Argand-Gauss.
3) Trovare i numeri di [tex]$E$[/tex] per cui uno dei valori di
[tex]$\lvert z \rvert+\log(iz^{3})$[/tex]
è uguale a [tex]$2i$[/tex].
Svolgimento
1) [tex]$z=\rho e^{i\theta} \Rightarrow iz^{3}=e^{i\frac{\pi}{2}}\rho^{3}e^{(3\theta+\frac{\pi}{2})i}$[/tex]
Dunque
[tex]$\log(iz^{3})=3\log\rho+i(3\theta+\frac{\pi}{2}+2k\pi)$[/tex]
Se [tex]$z=-3+4i$[/tex] abbiamo [tex]$\rho=5$[/tex] e [tex]$\theta=\pi-\arctan(\frac{4}{3})$[/tex] e [tex]$\log(iz^{3})=3\log5+(-3\arctan(\frac{4}{3})+\frac{7}{2}\pi+2k\pi)$[/tex]
2) [tex]$\lvert z \rvert+\log(iz^{3})=\rho+3\log(\rho)+i(3\theta+\frac{\pi}{2}+2k\pi)$[/tex] Perché siano immaginari puri si deve avere [tex]$\rho+3\log(\rho)=0$[/tex] e qui mi blocco. Come posso risolvere?
Risposte
Non puoi risolvere analiticamente l'equazione. Le possibilità sono due:
1) usi un metodo grafico cercando le soluzioni dell'equazione [tex]$\log(\rho)=-\frac{\rho}{3}$[/tex]
2) usi il teorema di esistenza degli zeri applicato alla funzione [tex]$g(\rho)=\rho+3\log(\rho)$[/tex] sull'intervallo [tex]$(0,+\infty)$[/tex]
In ogni caso troverai un'unica soluzione [tex]$\rho_0\in(0,1)$[/tex] che soddisfa la tua equazione, quindi [tex]$E=\{z\in\mathbb{C}\ :\ |z|=\rho_0\}$[/tex] (una circonferenza centrata nell'origine e raggio [tex]$\rho_0$[/tex]).
1) usi un metodo grafico cercando le soluzioni dell'equazione [tex]$\log(\rho)=-\frac{\rho}{3}$[/tex]
2) usi il teorema di esistenza degli zeri applicato alla funzione [tex]$g(\rho)=\rho+3\log(\rho)$[/tex] sull'intervallo [tex]$(0,+\infty)$[/tex]
In ogni caso troverai un'unica soluzione [tex]$\rho_0\in(0,1)$[/tex] che soddisfa la tua equazione, quindi [tex]$E=\{z\in\mathbb{C}\ :\ |z|=\rho_0\}$[/tex] (una circonferenza centrata nell'origine e raggio [tex]$\rho_0$[/tex]).
"ciampax":
In ogni caso troverai un'unica soluzione [tex]$\rho_0\in(0,1)$[/tex] che soddisfa la tua equazione.
Mi puoi spiegare come hai dedotto questo?
Come ti dicevo, hai due modi:
1) tramite il grafico delle funzioni [tex]$y=\log\rho,\ y=-\frac{\rho}{3}$[/tex] puoi verificare "ad occhio" che c'è un'unica intersezione nell'intervallo [tex]$(0,1)$[/tex].
2) Se preferisci il metodo analitico (io lo preferisco!) procedi così: detta [tex]$g(\rho)=\rho+3\log \rho$[/tex] sul suo dominio, osserva che
[tex]$\lim_{\rho\to 0^+} g(\rho)=-\infty,\qquad \lim_{\rho\to+\infty} g(\rho)=+\infty$[/tex]
Per il teorema di esistenza degli zeri (per funzioni continue) applicato alla funzione [tex]$g(\rho)$[/tex] sul suo dominio [tex]$(0,\rho)$[/tex] segue che esiste almeno uno zero di tale funzione. Per dimostrare che esso è unico (e dove si trovi) procediamo con il calcolo della derivata: abbiamo
[tex]$g'(\rho)=1+\frac{3}{\rho}$[/tex] che risulta sempre positiva sul dominio: ne segue allora che la funzione [tex]$g(\rho)$[/tex] è strettamente crescente su tutto il dominio e, dovendo partire da meno infinito ed arrivare a più infinito, senza modificare mai la monotonia, essa incontrerà l'asse delle ascisse in un solo punto.
Per determinarne la posizione, osserva che (con abuso di notazione) [tex]$g(0^+)=-\infty,\ g(1)=1$[/tex]: ne segue che nell'intervallo [tex]$[0,1]$[/tex] la funzione cambia segno. Inoltre essendo continua essa dovrà assumere, su tale intervallo tutti i valori compresi tra meno infinito e 1 solo una volta (a causa della monotonia). Ne segue che lo zero della funzione si trova in questo intervallo.
1) tramite il grafico delle funzioni [tex]$y=\log\rho,\ y=-\frac{\rho}{3}$[/tex] puoi verificare "ad occhio" che c'è un'unica intersezione nell'intervallo [tex]$(0,1)$[/tex].
2) Se preferisci il metodo analitico (io lo preferisco!) procedi così: detta [tex]$g(\rho)=\rho+3\log \rho$[/tex] sul suo dominio, osserva che
[tex]$\lim_{\rho\to 0^+} g(\rho)=-\infty,\qquad \lim_{\rho\to+\infty} g(\rho)=+\infty$[/tex]
Per il teorema di esistenza degli zeri (per funzioni continue) applicato alla funzione [tex]$g(\rho)$[/tex] sul suo dominio [tex]$(0,\rho)$[/tex] segue che esiste almeno uno zero di tale funzione. Per dimostrare che esso è unico (e dove si trovi) procediamo con il calcolo della derivata: abbiamo
[tex]$g'(\rho)=1+\frac{3}{\rho}$[/tex] che risulta sempre positiva sul dominio: ne segue allora che la funzione [tex]$g(\rho)$[/tex] è strettamente crescente su tutto il dominio e, dovendo partire da meno infinito ed arrivare a più infinito, senza modificare mai la monotonia, essa incontrerà l'asse delle ascisse in un solo punto.
Per determinarne la posizione, osserva che (con abuso di notazione) [tex]$g(0^+)=-\infty,\ g(1)=1$[/tex]: ne segue che nell'intervallo [tex]$[0,1]$[/tex] la funzione cambia segno. Inoltre essendo continua essa dovrà assumere, su tale intervallo tutti i valori compresi tra meno infinito e 1 solo una volta (a causa della monotonia). Ne segue che lo zero della funzione si trova in questo intervallo.
Ti ringrazio molto. In effetti avrei dovuto ragionare sulla funzione ed erano sufficienti strumenti di analisi 1.
Adesso provo a risolvere l'ultimo punto del problema.
Adesso provo a risolvere l'ultimo punto del problema.
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