Esercizio numeri complessi
Ciao a tutti,
non visito da parecchio tempo questo forum che mi è stato molto utile in passato
. Volevo proporvi un esercizio di Analisi Matematica sui numeri complessi. Credo di essere giunto alla soluzione ma vorrei delle conferme da voi esperti del settore.
La traccia è: Risolvere in $CC$ l'equazione: $(z^3 -i)(z^2+1)$
Ecco la mia soluzione:
Dev'essere $z^3-i=0$ o $z^2+1=0$. Dalla prima ricaviamo che $z^3=i$ e dalla seconda $z^2=-1$ e quindi si tratta di trovare le radici cubiche del numero $i$ e le radici quadrate del numero $-1$, ovviamente per fare ciò occorre prima trasformare i due numeri in forma trigonometrica ottenendo rispettivamente $cos(\pi/2) + isin(\pi/2)$ e $cos(\pi) + isin(\pi)$. Ora da questo punto si volgono i calcoli e si giunge alle soluzioni. Secondo voi il mio ragionamento è corretto ?
non visito da parecchio tempo questo forum che mi è stato molto utile in passato
. Volevo proporvi un esercizio di Analisi Matematica sui numeri complessi. Credo di essere giunto alla soluzione ma vorrei delle conferme da voi esperti del settore.La traccia è: Risolvere in $CC$ l'equazione: $(z^3 -i)(z^2+1)$
Ecco la mia soluzione:
Dev'essere $z^3-i=0$ o $z^2+1=0$. Dalla prima ricaviamo che $z^3=i$ e dalla seconda $z^2=-1$ e quindi si tratta di trovare le radici cubiche del numero $i$ e le radici quadrate del numero $-1$, ovviamente per fare ciò occorre prima trasformare i due numeri in forma trigonometrica ottenendo rispettivamente $cos(\pi/2) + isin(\pi/2)$ e $cos(\pi) + isin(\pi)$. Ora da questo punto si volgono i calcoli e si giunge alle soluzioni. Secondo voi il mio ragionamento è corretto ?
Risposte
Ciao
Analizzando i due casi:
$z^{3} = i:$
trasformerei $i$ nella sia forma polare ovvero $i = 1 \cdot e^{\frac{\pi}{2}i}$
per cui $ root(n)(i) $ con $n=3$ saranno i valori $z_{k} = sqrt(1)e^{ \frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3} i}$ con $k$ che va da $0$ a $n-1$
ovvero $k=0, 1, 2$
Stesso ragionamento per il secondo caso.
Spero di averti aiutato.
Ziao
Analizzando i due casi:
$z^{3} = i:$
trasformerei $i$ nella sia forma polare ovvero $i = 1 \cdot e^{\frac{\pi}{2}i}$
per cui $ root(n)(i) $ con $n=3$ saranno i valori $z_{k} = sqrt(1)e^{ \frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3} i}$ con $k$ che va da $0$ a $n-1$
ovvero $k=0, 1, 2$
Stesso ragionamento per il secondo caso.
Spero di averti aiutato.
Ziao
"Summerwind78":
Ciao
Analizzando i due casi:
$z^{3} = i:$
trasformerei $i$ nella sia forma polare ovvero $i = 1 \cdot e^{\frac{\pi}{2}i}$
per cui $ root(n)(i) $ con $n=3$ saranno i valori $z_{k} = sqrt(1)e^{ \frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3} i}$ con $k$ che va da $0$ a $n-1$
ovvero $k=0, 1, 2$
Stesso ragionamento per il secondo caso.
Spero di averti aiutato.
Ziao
Ciao,
ti ringrazio per la tua risposta e sono sicuro che sarà quella giusta. Tuttavia nel programma di analisi compare:
Numeri complessi. Definizione di C e struttura di campo. Coniugato e modulo. Forma trigonometrica. Radici n-sime.
Ovverro non è compresa la parte relativa alla forma esponenziale di un numero complesso (il che è assurdo perchè vedendo su internet ho visto che è una formula piuttosto utile perchè semplifica molto i calcoli). Ora secondo te la mia soluzione potrebbe essere accettata o ci sono dei modi alternativi ? Ad esempio sul libro c'è un esercizio in cui viene applicata la sostituzione ma i calcoli sono impossibili, pensa che mi sono fumato due appelli per questo medoto del cavolo.
Beh non ho fatto ci calcoli in forma trigonometrica, ma ammettendo che i due valori che hai calcolato siano corretti, la tua soluzione sarebbe comunque incompleta
quando hai una radice ennesima di un numero complesso, le soluzioni sono sempre "n"
quindi nel primo caso avresti trovato una soluzione su tre, mentre nel secondo caso una su due.
quando hai una radice ennesima di un numero complesso, le soluzioni sono sempre "n"
quindi nel primo caso avresti trovato una soluzione su tre, mentre nel secondo caso una su due.
Va bene forse mi sono spiegato male.
Io avevo convertito il numero $a=i$ e $b=-1$ in forma trigonometrica, ottenendo rispettivamente: $n_1=cos(\pi/2) +isin(\pi/2)$ e $n_2=cos(\pi) + isin(\pi)$, dove entrambi i numeri hanno (modulo) $p=1$. Ora da qui calcolo le radici cubiche del primo:
$w_k = r (cos\alpha + isin\alpha)$, con $r=p^(1/n)=1$ e $\alpha=(\pi/2+2k\pi)/n$, $n=3, k=0,1,2$
e le radici quadrate del secondo:
$z_i = s(cos\beta + isin\beta)$, con $s=p^(1/m)=1$ e $\beta=(\pi+2k\pi)/m$, con $m=2, i= 0,1$
In totale abbiamo quindi 3+2 soluzioni, ovvero 5. Spero di essermi spiegato.
Io avevo convertito il numero $a=i$ e $b=-1$ in forma trigonometrica, ottenendo rispettivamente: $n_1=cos(\pi/2) +isin(\pi/2)$ e $n_2=cos(\pi) + isin(\pi)$, dove entrambi i numeri hanno (modulo) $p=1$. Ora da qui calcolo le radici cubiche del primo:
$w_k = r (cos\alpha + isin\alpha)$, con $r=p^(1/n)=1$ e $\alpha=(\pi/2+2k\pi)/n$, $n=3, k=0,1,2$
e le radici quadrate del secondo:
$z_i = s(cos\beta + isin\beta)$, con $s=p^(1/m)=1$ e $\beta=(\pi+2k\pi)/m$, con $m=2, i= 0,1$
In totale abbiamo quindi 3+2 soluzioni, ovvero 5. Spero di essermi spiegato.
ok adesso ho capito.
Scusa avevo frainteso.
in questo caso, direi che il tuo ragionamento torna
Scusa avevo frainteso.
in questo caso, direi che il tuo ragionamento torna
ti ringrazio per l'aiuto. Adesso devo solo convincere la prof. di analisi a farmi usare la tabella con i seni e coseni degli angoli notevoli. Mission impossible 
.
Figurati... quando posso, ben volentieri!!!
Relativamente alla tua frase:
"il che è assurdo perchè vedendo su internet ho visto che è una formula piuttosto utile perchè semplifica molto i calcoli"
beh direi che è ben più che "piuttosto utile", bensì fondamentale.
Se devi fare una moltiplicazione, divisione o elevamento a potenza di un numero complesso in forma cartesiana sarebbe necessario il triplo del tempo. E sappiamo tutti bene che durante gli esami i minuti sono fondamentali!!!
Ciao
Relativamente alla tua frase:
"il che è assurdo perchè vedendo su internet ho visto che è una formula piuttosto utile perchè semplifica molto i calcoli"
beh direi che è ben più che "piuttosto utile", bensì fondamentale.
Se devi fare una moltiplicazione, divisione o elevamento a potenza di un numero complesso in forma cartesiana sarebbe necessario il triplo del tempo. E sappiamo tutti bene che durante gli esami i minuti sono fondamentali!!!
Ciao
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo