Esercizio numeri complessi
Buona sera 
Dopo la mattinata di limiti, devio il mio interesse sui numeri complessi.
Devo risolvere un equazione di secondo grado con i numeri complessi... Ma mi sorge un problema
$2z^2 + (1+3i)z - 1 = 0 $
La posso risolvere come un equazione di secondo grado:
$ (-(1+3i) \pm sqrt((1+3i)^2 - 4*2*-1)) /(2*2) $
Il primo dubbio mi sorge nell'elevare al quadrato 1+3i
Il quadrato dovrebbe essere
$ p = sqrt(1^2 + 3^2) $
$θ = arctan (3/1) $
$z = p cos θ + i p sent θ$
A prescindere da ciò (che non so fare per via dell'arcotangente di 3) poniamo io calcoli semplicemente come quadrato di bionomio:
$ (1 + 3i)^2 = 1 + 6i - 9 = -8 + 6i $
Che, se lo ributto nella formula risolutiva mi salta fuori:
$ ((-1-3i) \pm sqrt(-8 +6i +8)) /(4) $
Da cui devo calcolare $ sqrt(6i)$
le radici dovrebbero essere 2, e per ottenerle la formula è
$ root(n)(z) = (p)^(1/n) ( (cos θ + 2k\pi)/(n) + (i sent θ + 2k\pi)/(n))$
ma nel calcolare θ devo trovare $arctan (6/0)$... Ricontrollo sul libro ed, in effetti, da per buona la formula solo con $a != 0$ (posto nei calcoli $z= a + ib$ )
Quindi come la calcolo questa radice? L'unica cosa che ho pensato è che 6/0 è infinito, quindi potrei pensare a $\pi/2$ come soluzione, senseless credo.
Grazie in anticipo
Dopo la mattinata di limiti, devio il mio interesse sui numeri complessi.
Devo risolvere un equazione di secondo grado con i numeri complessi... Ma mi sorge un problema
$2z^2 + (1+3i)z - 1 = 0 $
La posso risolvere come un equazione di secondo grado:
$ (-(1+3i) \pm sqrt((1+3i)^2 - 4*2*-1)) /(2*2) $
Il primo dubbio mi sorge nell'elevare al quadrato 1+3i
Il quadrato dovrebbe essere
$ p = sqrt(1^2 + 3^2) $
$θ = arctan (3/1) $
$z = p cos θ + i p sent θ$
A prescindere da ciò (che non so fare per via dell'arcotangente di 3) poniamo io calcoli semplicemente come quadrato di bionomio:
$ (1 + 3i)^2 = 1 + 6i - 9 = -8 + 6i $
Che, se lo ributto nella formula risolutiva mi salta fuori:
$ ((-1-3i) \pm sqrt(-8 +6i +8)) /(4) $
Da cui devo calcolare $ sqrt(6i)$
le radici dovrebbero essere 2, e per ottenerle la formula è
$ root(n)(z) = (p)^(1/n) ( (cos θ + 2k\pi)/(n) + (i sent θ + 2k\pi)/(n))$
ma nel calcolare θ devo trovare $arctan (6/0)$... Ricontrollo sul libro ed, in effetti, da per buona la formula solo con $a != 0$ (posto nei calcoli $z= a + ib$ )
Quindi come la calcolo questa radice? L'unica cosa che ho pensato è che 6/0 è infinito, quindi potrei pensare a $\pi/2$ come soluzione, senseless credo.
Grazie in anticipo
Risposte
Uppo, non si sa mai. Vi prego, un buon samaritano.
Uppo ancora.
Il fatto è che tu hai [tex]$a+ib$[/tex] con [tex]$a=\rho \cos \theta$[/tex] e [tex]$b= \rho \sin \theta$[/tex], quindi se la parte reale è nulla, non puoi dividere e porre [tex]$\tan \theta = \frac{b}{a}$[/tex]
Però, puoi risolvere il sistema (facile) [tex]$\begin{cases} \rho= |b| \\ \cos\theta=0 \\ \sin \theta = \pm1 \end{cases}$[/tex] e trovare l'angolo. (Vedi nel tuo caso se devi porre [tex]+1[/tex] o [tex]-1[/tex]).
Però, puoi risolvere il sistema (facile) [tex]$\begin{cases} \rho= |b| \\ \cos\theta=0 \\ \sin \theta = \pm1 \end{cases}$[/tex] e trovare l'angolo. (Vedi nel tuo caso se devi porre [tex]+1[/tex] o [tex]-1[/tex]).
"Antimius":
Il fatto è che tu hai [tex]$a+ib$[/tex] con [tex]$a=\rho \cos \theta$[/tex] e [tex]$b= \rho \sin \theta$[/tex], quindi se la parte reale è nulla, non puoi dividere e porre [tex]$\tan \theta = \frac{b}{a}$[/tex]
Però, puoi risolvere il sistema (facile) [tex]$\begin{cases} \rho= b \\ \cos\theta=0 \\ \sin \theta = \pm1 \end{cases}$[/tex] e trovare l'angolo. (Vedi nel tuo caso se devi porre [tex]+1[/tex] o [tex]-1[/tex]).
Anzitodos, grazie per la risposta
L'unica cosa che non capisco, in base a cosa decido se scegliere +1 o -1 per il seno? O devo prenderli entrambi, dato che le radici quadrate di un numero complesso sono sempre due?
(sono negato con le funzioni trigonometriche
)
Se il tuo numero complesso è $ib$, allora il modulo come abbiamo detto è $|b|$ (ho corretto su). Il segno del seno dipende dal segno di $b$.
[mod="dissonance"]@Bisneff: Non fare "UP" prima di 24 ore. Vedi regolamento (clic) 3.4. [/mod]
dunque queste sono le soluzini di $sqrt(6i)=3([cos(pi/2)+2kpi]/2+[isen(pi/2)+2kpi]/2)$
con $k=0,1$
$k=0; 3([cos(pi/2)]/2+[isen(pi/2)]/2)=3/2i$
$k=1; 3([cos(pi/2+2pi)]/2+[isen(pi/2+2pi)]/2)=3([cos(5/2pi)]/2+[isen(5/2pi)]/2)=3/2i$
dove ho sbagliato XD
con $k=0,1$
$k=0; 3([cos(pi/2)]/2+[isen(pi/2)]/2)=3/2i$
$k=1; 3([cos(pi/2+2pi)]/2+[isen(pi/2+2pi)]/2)=3([cos(5/2pi)]/2+[isen(5/2pi)]/2)=3/2i$
dove ho sbagliato XD
"pierooooo":
dunque queste sono le soluzini di $sqrt(6i)=3([cos(pi/2)+2kpi]/2+[isen(pi/2)+2kpi]/2)$
con $k=0,1$
$k=0; 3([cos(pi/2)]/2+[isen(pi/2)]/2)=3/2i$
$k=1; 3([cos(pi/2+2pi)]/2+[isen(pi/2+2pi)]/2)=3([cos(5/2pi)]/2+[isen(5/2pi)]/2)=3/2i$
dove ho sbagliato XD
Credo tu abbia sbagliato a calcolare p, dato che $p=sqrt(6) $ e credo anche a porre che l'angolo sia $\pi/2$, visto che mi sembra un abbuso dire 6/0 fa infinito nel campo dei numeri complessi. Non so, poi vedrò di provare con il metodo di Antimius e faccio sapere.
Grazie ad entrambi e grazie anche a dissonance, starò più attento in seguito.
aspetta io ho calcolato le radici di $sqrt(6i)$
$p=sqrt(1^2+6^2)$
e ho usato il metodo di antiminus per trovare $pi/2$
(magari è sbagliato lo stesso XD)
$p=sqrt(1^2+6^2)$
e ho usato il metodo di antiminus per trovare $pi/2$
(magari è sbagliato lo stesso XD)
[quote=pierooooo]aspetta io ho calcolato le radici di $sqrt(6i)$
$p=sqrt(1^2+6^2)$
e ho usato il metodo di antiminus per trovare $pi/2$
(magari è sbagliato lo stesso XD)[/quote
Il calcolo esatto di p è:
$ p = sqrt(a^2 + b^2) $
dato che $ a= 0 , b = 6 $ (infatti un complesso z può essere scritto $z= a + bi$ e qui abbiamo $z= 0 + ib$)
quindi p è uguale al modulo di 6 come diceva prima Antimius.
$p=sqrt(1^2+6^2)$
e ho usato il metodo di antiminus per trovare $pi/2$
(magari è sbagliato lo stesso XD)[/quote
Il calcolo esatto di p è:
$ p = sqrt(a^2 + b^2) $
dato che $ a= 0 , b = 6 $ (infatti un complesso z può essere scritto $z= a + bi$ e qui abbiamo $z= 0 + ib$)
quindi p è uguale al modulo di 6 come diceva prima Antimius.
allora ho fatto un po di macello... sotto radice ho scritto 1 ma volevo dire 0, quindi si p=6... non so perche ho scritto 3.
in ogni caso il sistema di seno e coseno porta alla soluzione $pi/2$
in ogni caso il sistema di seno e coseno porta alla soluzione $pi/2$
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