Esercizio Numeri complessi
Ciao a tutti potete aiutarmi a risolvere questa equazione in campo complesso??
z |z|$^2$ + |z| z*$^2$ - z* z$^2$=i
z*= z complesso coniugato
Ho provato ha sostituire la z con la sua rappresentazione esponenziale,l'equazione si semplifica molto,ma alla fine nn so come eguagliare modulo e fase e quindi come risolverlo...
Potete suggerirmi qualcosa?
Voi come lo risolvereste?
Grazie
z |z|$^2$ + |z| z*$^2$ - z* z$^2$=i
z*= z complesso coniugato
Ho provato ha sostituire la z con la sua rappresentazione esponenziale,l'equazione si semplifica molto,ma alla fine nn so come eguagliare modulo e fase e quindi come risolverlo...
Potete suggerirmi qualcosa?
Voi come lo risolvereste?
Grazie
Risposte
non ho capito com'è l'equazione...così:
$(z*|z|)^2+(|z|*z_c)^2-z_c*z^2=i$
oppure altro?
Hai messo tra i dollari $ solo ^2 e non tutto il resto...
$(z*|z|)^2+(|z|*z_c)^2-z_c*z^2=i$
oppure altro?
Hai messo tra i dollari $ solo ^2 e non tutto il resto...
...solo il ^2 e non tutto il resto 
no... allora il * lo scritto e il compleso coniugato
Per il resto l'elevamento va solo alla lettera che e vicina....te la scrivo meglio sul post iniziale
Per il resto l'elevamento va solo alla lettera che e vicina....te la scrivo meglio sul post iniziale
Ok, allora è:
$z*|z|^2+|z|*z_c^2-z_c*z^2=i$
ho usato $z_c$ come coniugato perchè non riesco a mettere l'asterisco apice...buh
Allora, se che espliciti:
$z=a+ib$
$z_c=a-ib$
$|z|=sqrt(a^2+b^2)$
si può notare che:
$z/z_c=(a+ib)/(a-ib)=(a+ib)/(a-ib)*(a+ib)/(a+ib)=(a+ib)^2/(a^2+b^2)=z^2/|z|^2$
$z_c/z=(a-ib)/(a+ib)=(a-ib)/(a+ib)*(a-ib)/(a-ib)=(a-ib)^2/(a^2+b^2)=z_c^2/|z|^2$
quindi se dividi tutto per $|z|^2$:
$(z*|z|^2)/|z|^2+(|z|*z_c^2)/|z|^2-(z_c*z^2)/|z|^2=i/|z|^2$
$z+z_c^2/|z|-z=z_c^2/|z|=i/|z|^2$ -----> $z_c^2*|z|=i$
$z_c^2/|z|^2*|z|=z_c/z*|z|=i/|z|^2$ -----> $z_c*|z|^3=i*z$
Spero che queste semplificazioni siano adatte al tuo scopo...al limite, per quanto sia un po' laborioso, si possono sviluppare i calcoli in $a$ e $b$ e identificare la parte reale e quella immaginaria (con conseguenti modulo e fase)
Spero di esserti stato utile e di non aver sparato castronate...ho fatto un po' a occhio
$z*|z|^2+|z|*z_c^2-z_c*z^2=i$
ho usato $z_c$ come coniugato perchè non riesco a mettere l'asterisco apice...buh
Allora, se che espliciti:
$z=a+ib$
$z_c=a-ib$
$|z|=sqrt(a^2+b^2)$
si può notare che:
$z/z_c=(a+ib)/(a-ib)=(a+ib)/(a-ib)*(a+ib)/(a+ib)=(a+ib)^2/(a^2+b^2)=z^2/|z|^2$
$z_c/z=(a-ib)/(a+ib)=(a-ib)/(a+ib)*(a-ib)/(a-ib)=(a-ib)^2/(a^2+b^2)=z_c^2/|z|^2$
quindi se dividi tutto per $|z|^2$:
$(z*|z|^2)/|z|^2+(|z|*z_c^2)/|z|^2-(z_c*z^2)/|z|^2=i/|z|^2$
$z+z_c^2/|z|-z=z_c^2/|z|=i/|z|^2$ -----> $z_c^2*|z|=i$
$z_c^2/|z|^2*|z|=z_c/z*|z|=i/|z|^2$ -----> $z_c*|z|^3=i*z$
Spero che queste semplificazioni siano adatte al tuo scopo...al limite, per quanto sia un po' laborioso, si possono sviluppare i calcoli in $a$ e $b$ e identificare la parte reale e quella immaginaria (con conseguenti modulo e fase)
Spero di esserti stato utile e di non aver sparato castronate...ho fatto un po' a occhio
Conviene usare la forma esponenziale dei numeri complessi $ z= rho*e^(i*theta)$ e quindi $|z| = rho; bar z= rho*e^(-i*theta); (bar z)^2 = rho^2*e^(-i*2theta); |z | = rho ; |z|^2 = rho^2 ; i = 1*e^(i*pi/2)$ e quindi l'equazione diventa :
$rho^3*e^(i*theta) +rho^3*e^(-i*theta)-rho^3*e^(i*theta) = 1*e^(i*pi/2) $ da cui :
$rho^3*e^(-i*theta) = 1*e^(i*pi/2) $ e alla fine :
$rho = 1 ; theta = -pi/2 $ , quindi $z= e^(-i*pi/2) = -i $ .
$rho^3*e^(i*theta) +rho^3*e^(-i*theta)-rho^3*e^(i*theta) = 1*e^(i*pi/2) $ da cui :
$rho^3*e^(-i*theta) = 1*e^(i*pi/2) $ e alla fine :
$rho = 1 ; theta = -pi/2 $ , quindi $z= e^(-i*pi/2) = -i $ .
"Camillo":
Conviene usare la forma esponenziale dei numeri complessi $ z= rho*e^(i*theta)$ e quindi $|z| = rho; bar z= rho*e^(-i*theta); (bar z)^2 = rho^2*e^(-i*2theta); |z | = rho ; |z|^2 = rho^2 ; i = 1*e^(i*pi/2)$ e quindi l'equazione diventa :
$rho^3*e^(i*theta) +rho^3*e^(-i*theta)-rho^3*e^(i*theta) = 1*e^(i*pi/2) $ da cui :
$rho^3*e^(-i*theta) = 1*e^(i*pi/2) $ e alla fine :
$rho = 1 ; theta = -pi/2 $ , quindi $z= e^(-i*pi/2) = -i $ .
ho capito.... ma se nn sbaglio hai sbagliato a calcolare il secondo prodotto di numeri complessi,
$rho^3*e^(-i*theta)$
infatti dovrebbe venire
$rho^3*e^(-2i*theta)$
e la fase totale $-pi/4$ o sbaglio io?
Cmq nei risultati dell 'esercizio ci sono 2 numeri complessi $z1= sqrt(2)*(1-i)/2$ $z1= sqrt(2)*(-1+i)/2$
Come mai?
"pizzaf40":
Ok, allora è:
$z*|z|^2+|z|*z_c^2-z_c*z^2=i$
ho usato $z_c$ come coniugato perchè non riesco a mettere l'asterisco apice...buh
Allora, se che espliciti:
$z=a+ib$
$z_c=a-ib$
$|z|=sqrt(a^2+b^2)$
si può notare che:
$z/z_c=(a+ib)/(a-ib)=(a+ib)/(a-ib)*(a+ib)/(a+ib)=(a+ib)^2/(a^2+b^2)=z^2/|z|^2$
$z_c/z=(a-ib)/(a+ib)=(a-ib)/(a+ib)*(a-ib)/(a-ib)=(a-ib)^2/(a^2+b^2)=z_c^2/|z|^2$
quindi se dividi tutto per $|z|^2$:
$(z*|z|^2)/|z|^2+(|z|*z_c^2)/|z|^2-(z_c*z^2)/|z|^2=i/|z|^2$
$z+z_c^2/|z|-z=z_c^2/|z|=i/|z|^2$ -----> $z_c^2*|z|=i$
$z_c^2/|z|^2*|z|=z_c/z*|z|=i/|z|^2$ -----> $z_c*|z|^3=i*z$
Spero che queste semplificazioni siano adatte al tuo scopo...al limite, per quanto sia un po' laborioso, si possono sviluppare i calcoli in $a$ e $b$ e identificare la parte reale e quella immaginaria (con conseguenti modulo e fase)
Spero di esserti stato utile e di non aver sparato castronate...ho fatto un po' a occhio
grazie,ma preferisco usare la forma esponeziale troppi calcoli
Tanto per cominciare osservo che:
$z \cdot |z|^2 = z \cdot (z \cdot \overline{z}) = (z \cdot z) \cdot \overline{z} = z^2 \cdot \overline{z}$
quindi l'equazione iniziale si semplifica così:
$z \cdot |z|^2 + |z| \cdot \overline{z}^2 - z^2 \cdot \overline{z} = i$
$z^2 \cdot \overline{z} + |z| \cdot \overline{z}^2 - z^2 \cdot \overline{z} = i$
$|z| \cdot \overline{z}^2 = i$
a questo punto vedo che il modulo di $z$ è uguale a $1$ (questo si vede prendendo i moduli
della parte sinistra e destra dell'equazione).
Quindi
$|z| = 1$
e l'equazione si riduce a:
$\overline{z}^2 = i$.
Visto che $\overline{a} \cdot \overline{b} = \overline{a \cdot b}$ per ogni a,b
si può scrivere:
$\overline{z^2} = i$
coniugando tutto si ha:
$z^2 = -i$
si trovano le soluzioni:
$z_1 = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i$
$z_2 = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i$
e sono proprio le soluzioni indicate dal libro..
Per Camillo: vedi che si può fare senza la forma esponenziale?
Sì, sì, lo so che te preferisci quella!!
Francesco Daddi
$z \cdot |z|^2 = z \cdot (z \cdot \overline{z}) = (z \cdot z) \cdot \overline{z} = z^2 \cdot \overline{z}$
quindi l'equazione iniziale si semplifica così:
$z \cdot |z|^2 + |z| \cdot \overline{z}^2 - z^2 \cdot \overline{z} = i$
$z^2 \cdot \overline{z} + |z| \cdot \overline{z}^2 - z^2 \cdot \overline{z} = i$
$|z| \cdot \overline{z}^2 = i$
a questo punto vedo che il modulo di $z$ è uguale a $1$ (questo si vede prendendo i moduli
della parte sinistra e destra dell'equazione).
Quindi
$|z| = 1$
e l'equazione si riduce a:
$\overline{z}^2 = i$.
Visto che $\overline{a} \cdot \overline{b} = \overline{a \cdot b}$ per ogni a,b
si può scrivere:
$\overline{z^2} = i$
coniugando tutto si ha:
$z^2 = -i$
si trovano le soluzioni:
$z_1 = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i$
$z_2 = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i$
e sono proprio le soluzioni indicate dal libro..
Per Camillo: vedi che si può fare senza la forma esponenziale?
Sì, sì, lo so che te preferisci quella!!
Francesco Daddi
scusami ma compare un invalid markup quando semplifichi z⋅|z|2
Cosa sarebbe??
Alla fine leggo
Invalid-Markup=i
Cosa sarebbe l'invalid markup? forse nn ho tutti i fonts....
Cosa sarebbe??
Alla fine leggo
Invalid-Markup=i
Cosa sarebbe l'invalid markup? forse nn ho tutti i fonts....
"Alberto87":
[quote="Camillo"]Conviene usare la forma esponenziale dei numeri complessi $ z= rho*e^(i*theta)$ e quindi $|z| = rho; bar z= rho*e^(-i*theta); (bar z)^2 = rho^2*e^(-i*2theta); |z | = rho ; |z|^2 = rho^2 ; i = 1*e^(i*pi/2)$ e quindi l'equazione diventa :
$rho^3*e^(i*theta) +rho^3*e^(-i*theta)-rho^3*e^(i*theta) = 1*e^(i*pi/2) $ da cui :
$rho^3*e^(-i*theta) = 1*e^(i*pi/2) $ e alla fine :
$rho = 1 ; theta = -pi/2 $ , quindi $z= e^(-i*pi/2) = -i $ .
ho capito.... ma se nn sbaglio hai sbagliato a calcolare il secondo prodotto di numeri complessi,
$rho^3*e^(-i*theta)$
infatti dovrebbe venire
$rho^3*e^(-2i*theta)$
e la fase totale $-pi/4$ o sbaglio io?
Cmq nei risultati dell 'esercizio ci sono 2 numeri complessi $z1= sqrt(2)*(1-i)/2$ $z1= sqrt(2)*(-1+i)/2$
Come mai?[/quote]
Hai ragione errore di conti !
Per Franced : sì preferisco la forma esponenziale ma poi sbaglio anche i conti
"Alberto87":
scusami ma compare un invalid markup quando semplifichi z⋅|z|2
Cosa sarebbe??
Alla fine leggo
Invalid-Markup=i
Cosa sarebbe l'invalid markup? forse nn ho tutti i fonts....
Io leggo tutto, forse non hai il programma aggiornato, non saprei..
Ti assicuro che il procedimento è corretto!
Francesco Daddi
"Camillo":
Per Franced : sì preferisco la forma esponenziale ma poi sbaglio anche i conti
Questi esercizi sono fatti per usare il meno possibile la forma esponenziale.
Tutto si basa, infatti, sulla relazione:
$z \cdot \overline{z} = |z|^2$.
Francesco Daddi
"Camillo":
Per Franced : sì preferisco la forma esponenziale ma poi sbaglio anche i conti
In ogni caso mi riferivo ad un altro esercizio (un mese fa, credo) sui numeri
complessi.
Anche là avevamo risolto in modi diversi, ricordi?
Francesco Daddi
Daaaahhhhh è insopportabile!!!!!!
$z*$(invalid-markup)$=|z|^2$
.....sono curiosoooooo!!!
Dov'è che posso agiornare mathML? L'aggiunta a firefox che si scaricava da quì non è più sufficiente??
$z*$(invalid-markup)$=|z|^2$
.....sono curiosoooooo!!!
Dov'è che posso agiornare mathML? L'aggiunta a firefox che si scaricava da quì non è più sufficiente??
"pizzaf40":
Daaaahhhhh è insopportabile!!!!!!
$z*$(invalid-markup)$=|z|^2$
.....sono curiosoooooo!!!
Dov'è che posso agiornare mathML? L'aggiunta a firefox che si scaricava da quì non è più sufficiente??
Allora, l'equazione è questa:
zeta moltiplicato zeta coniugato = modulo di zeta alla seconda.
Francesco Daddi
Ah ok, grazie mille...così viene facile sì
Ciao ciao!!
Ciao ciao!!
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