Esercizio numeri complessi

[fresin]

Salve, ho un problema con questo esercizio sui numeri complessi, la consegna è:
Mostrare che
$\varphi : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ definita da $\varphi(\z)=\frac{3\z-i}{3+i\z}$
ha immagine nella circonferenza trigonometrica.
Ho provato con i moduli trasformando in forma esponenziale e con a + bi ma non ne sono uscito. Grazie in anticipo per le risposte.

[ingres]

Sei sicuro del testo?
Se l'immagine fosse una circonferenza allora la funzione dovrebbe essere limitata, ma la funzione data per z=3i diverge.

[fresin]

eh sì il testo è quello ma effettivamente è sbagliato. L'approccio comunque quale sarebbe (sempre che ce ne sia uno generale, ma dubito)? Io avevo provato a calcolare il modulo per vedere se questo era 1, ma mi venivano dei calcoli bruttissimi. In teoria se trovassi che il modulo è 1 avrei concluso, giusto? Non saprei cosa fare se non questo.

[ingres]

Se è l'immagine è la circonferenza trigonometrica il tuo approccio è corretto. Se è una circonferenza di centro diverso dall'origine e raggio diverso da 1, conviene prima farsi un disegno per capire centro e raggio e poi dimostrare che la parte reale e immaginaria di $varphi(z)$ obbediscono all'equazione della crf.

In generale però l'immagine di $CC$ dovrebbe essere una superficie e quindi essere più che una circonferenza un cerchio. Ad es. nel caso del cerchio unitario va verificato che il modulo di $varphi$ sia minore o uguale a 1 per qualsiasi z.

[fresin]

Ok perfetto, grazie per la risposta .

[gugo82]

Immagino che si intenda che l'immagine di $varphi$ è contenuta nel disco unitario, cioè che:

$AA z in CC, |varphi(z)| <= 1$,

ma si vede che questo non è possibile perché $\varphi$ ha una singolarità polare in $3i$, quindi risulta $|varphi(z)| ->+oo$ per $z -> 3i$.

Probabilmente ti si voleva chiedere altro, ma non riesco a capire bene cosa... Forse ti si voleva chiedere di determinare l'immagine della circonferenza unitaria attraverso $varphi$, ma se davvero è così il testo è proprio scritto coi piedi. Da dove l'hai preso?

Ad ogni buon conto, fosse davvero così, ti basterebbe:

[list=1][*:2lqaausd] calcolare il modulo di $varphi(e^(i vartheta))$ e mostrare che esso è $=1$ per ogni $vartheta in [0,2pi)$

[/*:m:2lqaausd]
[*:2lqaausd] mostrare che $varphi (e^(i vartheta)) = e^(i t)$ ha una soluzione in $[0,2pi)$ per ogni $t \in [0,2pi)$.[/*:m:2lqaausd][/list:o:2lqaausd]

Facciamo un po' di conti.

1. Hai:

$varphi(e^(i vartheta)) = (3e^(i vartheta) - i)/(3 + i e^(i vartheta))$

quindi brutalmente:

$|varphi(e^(i vartheta))|^2 = (|3e^(i vartheta) - i|^2)/(|3 + i e^(i vartheta)|^2) =(9cos^2 vartheta + (3sin vartheta - 1)^2)/((3 - sin vartheta)^2 + cos^2 vartheta) =(10 - 6 sin vartheta)/(10 - 6 sin vartheta) = 1$.

Più geometricamente, puoi osservare che $(3e^(i vartheta) - i)*e^(-i vartheta) = 3 - i e^(-ivartheta) = 3 + bar(i) bar(e^(i vartheta)) = bar(3 + i e^(i vartheta))$, quindi ruotando[nota]Ricorda che la moltiplicazione di un numero $z$ per un numero dal modulo unitario $e^(i t)$ equivale, nel piano complesso, a ruotare il punto che rappresenta $z$ di un angolo $t$ attorno all'origine $O$ (in senso antiorario se $t>0$; in senso orario se $t<0$).[/nota] di un angolo $-vartheta$ il numeratore si ottiene il coniugato del denominatore; quindi è evidente che:

$|varphi(e^(i vartheta))| = |3e^(i vartheta) - i|/|3 + i e^(i vartheta)| = |3e^(i vartheta) - i|/|bar(3 + i e^(i vartheta))| = |3e^(i vartheta) - i|/(|3 e^(i vartheta) - i|*|e^(-i vartheta)|) = 1$

per ogni $vartheta in [0,2pi[$.

2. Puoi scrivere:

$varphi (e^(i vartheta)) = e^(i t) <=> (3e^(i vartheta) - i)/(3 + i e^(i vartheta)) = e^(i t) <=> 3e^(i vartheta) - i = 3e^(i t) + i e^(i t) e^(i vartheta) <=> (3 - i e^(i t)) e^(i vartheta) = 3 e^(i t) + i <=> e^(i vartheta) = (3 e^(i t) + i)/(3 - i e^(i t))$

e, facendo un po' di calcoli coi coniugati, l'ultima condizione la puoi esprimere come:

$e^(i vartheta) = bar(varphi(e^(- i t)))$;

dato che $varphi(e^(- i t))$ ha modulo unitario, anche il suo coniugato ha modulo unitario e quindi l'equazione $e^(i vartheta) = bar(varphi(e^(- i t)))$ ha unica soluzione in $[0,2pi[$ per ogni $t in [0,2pi[$.

Ciò mostra che $varphi$ induce una biiezione della circonferenza unitaria $mathbb(S)^1$ in sé, perché hai mostrato che $varphi (mathbb(S)^1) sube mathbb(S)^1$ (questa è la 1) e che $mathbb(S)^1 sube varphi (mathbb(S)^1)$ (che è la 2).
Per $vartheta = 0$ si ottiene:

$varphi (1) = (3 - i)/(3 + i) = (3 - i)^2/10 = 4/5 - 3/5\ i = zeta$

e scommetto che questo $zeta$ ha qualche significato geometrico... Ci si dovrebbe pensare un po'.