Esercizio numeri complessi
Salve, consideriamo l'insieme dei numeri complessi del tipo:
\[ X=\{ z \in \mathbb{C} \;| \; z= \frac{a-i}{a^2+1} \;\; t.c. \;\; a \in \mathbb{R}\} \]
vorrei rappresentare l'insieme nel piano cartesiano. Ho visto che tale insieme rappresenta i punti della circonferenza di centro $(0,-1/2)$ e raggio $1/2$, perché rappresentano tutti i punti del tipo $(\frac{a}{a^2+1},\frac{-1}{a^2+1})$ che soddisfano la relazione $(y+1/2)^2+x^2=1/4$. La mia domanda è: se uno non riesce ad osservare che soddisfano quella relazione, c'è un modo semplice per arrivare al risultato?
Grazie
\[ X=\{ z \in \mathbb{C} \;| \; z= \frac{a-i}{a^2+1} \;\; t.c. \;\; a \in \mathbb{R}\} \]
vorrei rappresentare l'insieme nel piano cartesiano. Ho visto che tale insieme rappresenta i punti della circonferenza di centro $(0,-1/2)$ e raggio $1/2$, perché rappresentano tutti i punti del tipo $(\frac{a}{a^2+1},\frac{-1}{a^2+1})$ che soddisfano la relazione $(y+1/2)^2+x^2=1/4$. La mia domanda è: se uno non riesce ad osservare che soddisfano quella relazione, c'è un modo semplice per arrivare al risultato?
Grazie
Risposte
Ciao Fabio_94,
Beh, si ha:
$|z| = 1/sqrt{a^2 + 1} \implies |z|^2 = 1/(a^2 + 1) \implies x^2 + y^2 = 1/(a^2 + 1) $
Beh, si ha:
$|z| = 1/sqrt{a^2 + 1} \implies |z|^2 = 1/(a^2 + 1) \implies x^2 + y^2 = 1/(a^2 + 1) $
Perfetto grazie mille!
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