Esercizio numeri complessi
Salve, riporto un esercizio che mi sta dando dei problemi: Risolvere l'equazione $z|z+2|=sqrt(3)i$ . Ho provato a sostituire $z=x+iy$ ma non so come continuare a causa della radice del modulo. Mi dareste una mano ?
Risposte
Ciao davide.fede,
Sostituendo $z = x + iy $ nell'equazione proposta si ha:
$ (x + iy)|(x + 2) +iy| = \sqrt{3} i \implies (x + iy) \sqrt{(x + 2)^2 + y^2} = \sqrt{3} i \implies $
$\implies x \sqrt{(x + 2)^2 + y^2} + iy \sqrt{(x + 2)^2 + y^2} = \sqrt{3} i $
Ora il secondo membro è immaginario puro per cui, affinché lo sia anche il primo, deve essere necessariamente $x = 0 $, essendo evidente che $ z = x + iy = - 2 + i0 $ non è soluzione dell'equazione proposta. Per $x = 0 $ si ottiene
$ iy \sqrt{4 + y^2} = \sqrt{3}i $
$ y \sqrt{4 + y^2} = \sqrt{3} $
Elevando al quadrato si ha:
$y^2 (4 + y^2) = 3 $
$y^4 + 4y^2 - 3 = 0 $
$(y^2 + 2)^2 - 7 = 0 \implies y_{1, 2} =\pm \sqrt{\sqrt{7} - 2} $
Non è difficile verificare che solo la soluzione positiva è accettabile, per cui la soluzione dell'equazione $ z|z+2|=\sqrt(3)i $ è
$ z = i\sqrt{\sqrt{7} - 2} $
Sostituendo $z = x + iy $ nell'equazione proposta si ha:
$ (x + iy)|(x + 2) +iy| = \sqrt{3} i \implies (x + iy) \sqrt{(x + 2)^2 + y^2} = \sqrt{3} i \implies $
$\implies x \sqrt{(x + 2)^2 + y^2} + iy \sqrt{(x + 2)^2 + y^2} = \sqrt{3} i $
Ora il secondo membro è immaginario puro per cui, affinché lo sia anche il primo, deve essere necessariamente $x = 0 $, essendo evidente che $ z = x + iy = - 2 + i0 $ non è soluzione dell'equazione proposta. Per $x = 0 $ si ottiene
$ iy \sqrt{4 + y^2} = \sqrt{3}i $
$ y \sqrt{4 + y^2} = \sqrt{3} $
Elevando al quadrato si ha:
$y^2 (4 + y^2) = 3 $
$y^4 + 4y^2 - 3 = 0 $
$(y^2 + 2)^2 - 7 = 0 \implies y_{1, 2} =\pm \sqrt{\sqrt{7} - 2} $
Non è difficile verificare che solo la soluzione positiva è accettabile, per cui la soluzione dell'equazione $ z|z+2|=\sqrt(3)i $ è
$ z = i\sqrt{\sqrt{7} - 2} $
Ora capisco, ma non mi è ben chiaro poiché la soluzione negativa sia da scartare
Provate a ragionare, invece di fare contazzi...
Vogliamo risolvere $|z+2| z = i sqrt(3)$.
Passando agli argomenti principali si ha \(\operatorname{Arg} \left( | z+2| z \right) = \pi/2\), e ciò si verifica solo se \( \operatorname{Arg} z = \pi/2\) ossia se $z$ è immaginario puro con coefficiente dell'immaginario positivo, i.e. $z=yi$ con $y>0$.
Analogamente, passando ai moduli al quadrato, si trova $|z+2|^2 |z|^2 = 3$, cioè $(4 + y^2) y^2 = 3$ che è una biquadratica e si risolve facilmente.
Coi soliti trucchi si trova $y^2 = sqrt(7) - 2$ e dunque $y = +- sqrt(sqrt(7) - 2) $; d'altra parte, per quanto detto sopra, deve essere $y>0$, quindi $z = i sqrt(sqrt(7)-2)$.
Vogliamo risolvere $|z+2| z = i sqrt(3)$.
Passando agli argomenti principali si ha \(\operatorname{Arg} \left( | z+2| z \right) = \pi/2\), e ciò si verifica solo se \( \operatorname{Arg} z = \pi/2\) ossia se $z$ è immaginario puro con coefficiente dell'immaginario positivo, i.e. $z=yi$ con $y>0$.
Analogamente, passando ai moduli al quadrato, si trova $|z+2|^2 |z|^2 = 3$, cioè $(4 + y^2) y^2 = 3$ che è una biquadratica e si risolve facilmente.
Coi soliti trucchi si trova $y^2 = sqrt(7) - 2$ e dunque $y = +- sqrt(sqrt(7) - 2) $; d'altra parte, per quanto detto sopra, deve essere $y>0$, quindi $z = i sqrt(sqrt(7)-2)$.
"davide.fede":
Ora capisco, ma non mi è ben chiaro poiché la soluzione negativa sia da scartare
Perché deriva dall'elevamento al quadrato, ma se provi ad inserirla nell'equazione $ y \sqrt{4 + y^2} = \sqrt{3} $ ti dovresti accorgere facilmente che non la soddisfa.
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