Esercizio moltiplicatori di Lagrange

[Valchiria1]

Devo trovare i punti critici di $f(x,y)=x-y$ con la condizione $arctan(x^2+y^2-2)=2-x+y$

Non riesco a procedere nello svolgimento del sistema:

$ { ( L_x=1-(2lambdax)/(x^2+y^2-1)-lambda=0 ),( L_y=-1-(2lambday)/(x^2+y^2-1)+lambda=0 ),( arctan(x^2+y^2-2)-2+x-y=0 ):} $

Dalla prima e la seconda trovo:

$ lambda= (x^2+y^2-1)/(x^2+y^2-1+2x) $

$x=-y$

e quindi $ lambda= (2x^2-1)/(2x^2-1+2x) $

ma non so come concludere con la 3 equazione:

$arctan(x^2+y^2-2)-2+x-y=0$

Il risultato del libro è: con $lambda=-1/3$ si trova il pto critico $(1,-1)$

[anonymous_0b37e9]

Intanto:

Funzione

$f(x,y)=x-y$

Vincolo

$[g(x,y)=0] rarr [arctan(x^2+y^2-2)-2+x-y=0]$

Condizione 1

$1=\lambda[(2x)/(1+(x^2+y^2-2)^2)+1]$

Condizione 2

$-1=\lambda[(2y)/(1+(x^2+y^2-2)^2)-1]$

Condizione 3

$arctan(x^2+y^2-2)-2+x-y=0$

Inoltre, poichè dalle prime due condizioni risulta:

$[2x+1+(x^2+y^2-2)^2=-2y+1+(x^2+y^2-2)^2] rarr [x+y=0]$

deve necessariamente essere:

$[arctan(2x^2-2)-2+2x=0] rarr [arctan[2(x+1)(x-1)]+2(x-1)=0] rarr [x=1]$

Infine, se si vuole dimostrarne l'unicità, è necessario applicare un qualche teorema alla seguente funzione di una sola variabile:

$\phi(x)=arctan(2x^2-2)-2+2x$

osservando, per esempio, che:

$lim_(x->-oo)\phi(x)=-oo$

$lim_(x->+oo)\phi(x)=+oo$

$(d\phi)/(dx)=(4x)/[1+(2x^2-2)^2]+2=(2(4x^4-8x^2+2x+5))/(1+(2x^2-2)^2)$

Solo se si riesce a dimostrare anche la seguente proprietà:

$AA x in RR : 4x^4-8x^2+2x+5 gt 0$

è possibile concludere per questa via. Purtroppo, non sembra essere questo il caso:

$y=4x^4-8x^2+2x+5$

[Valchiria1]

Grazie mille