Esercizio min/max relativi
buongiorno, ho quest'esercizio da risolvere.
Data la funzione f(x.y,z) = $x+y^2/(4x )+ z^2/y + 2/z$
Determina l'insieme di definizione e verifica l'applicabilità delle condizioni di I e II ordine per la ricerca di punti di min/max relativi. Calcola quindi gli eventuali punti di min/max.
Sapreste darmi una mano? vi ringrazio anticipatamente
Data la funzione f(x.y,z) = $x+y^2/(4x )+ z^2/y + 2/z$
Determina l'insieme di definizione e verifica l'applicabilità delle condizioni di I e II ordine per la ricerca di punti di min/max relativi. Calcola quindi gli eventuali punti di min/max.
Sapreste darmi una mano? vi ringrazio anticipatamente
Risposte
Ciao Masta, per gli esercizi è richiesto un tentativo di svolgimento. Per determinare il dominio naturale di $f$ credo che tu possa riportare qui sotto a cosa sei giunto da solo finora, ed eventualmente chiedere conferme/correzioni visto che è un argomento ben precedente allo studio di massimi e minimi relativi per funzioni di più variabili che si ricollega abbastanza naturalmente a quello delle funzioni di una variabile.
Per le condizioni del primo e secondo ordine per il calcolo dei punti di massimo e minimo, che suppongo essere quelle del gradiente e della matrice hessiana, dove ti blocchi? Si tratta di verificare delle ipotesi, se ci esponi in quali punti delle verifiche ti blocchi possiamo aiutarti meglio; così la richiesta di aiuto è troppo generica.
Per le condizioni del primo e secondo ordine per il calcolo dei punti di massimo e minimo, che suppongo essere quelle del gradiente e della matrice hessiana, dove ti blocchi? Si tratta di verificare delle ipotesi, se ci esponi in quali punti delle verifiche ti blocchi possiamo aiutarti meglio; così la richiesta di aiuto è troppo generica.
Ciao Masta,
Beh, questo non mi pare così complicato, prova a pensarci...
$ f(x, y, z) = x + y^2/(4x)+ z^2/y + 2/z $
Interessante anche osservare che si ha $f(- x, - y, - z) = - f(x, y, z) $
"Masta":
Determina l'insieme di definizione [...]
Beh, questo non mi pare così complicato, prova a pensarci...
$ f(x, y, z) = x + y^2/(4x)+ z^2/y + 2/z $
$ f(x, y, z) = x + y^2/(4x)+ z^2/y + 2/z $
Interessante anche osservare che si ha $f(- x, - y, - z) = - f(x, y, z) $
$ inC^1(R^3) $Buonasera, provo a risolverlo, esponendo le mie perplessità.
$ f(x, y, z) = x + y^2/(4x)+ z^2/y + 2/z $
innanzitutto $ f(x, y, z) $ dovrebbe essere definita per $x!=0 , y!=0, z!=0$ che possiamo mettere come condizione a sistema. Qui arriva il primo dubbio, la funzione non è quindi definita sugli assi dello spazio $R^3$ giusto? Oppure non è definita semplicemente nell'origine? tra le due credo che la prima ipotesi sia quella giusta.
Passiamo ora alla ricerca dei punti di min/max relati (o locali interni)
Per la condizione del primo ordine è sufficiente verificare che f$inC^1(R^3)$ ovvero f sia continua in tutto $R^3$ e dotata di derivate parziali continue su tutto $R^3$. Procedo con il calcolo delle derivate parziali prime.
$ fx(x, y, z) = 1- y^2/(4x^2) $ $ fy = 1/2(y/x) - z^2/(y^2)$ $fz = 2z/y -2/z^2$
La mia domanda è ora la seguente, f$inC^1(R^3)$ ? sappiamo che le derivate parziali cosi come la funzione f non è definita su tutto $R^3$, pertanto è continua in tutto $R^3$ ? vale pertanto la condizione sufficiente del primo ordine? Il mio intuito mi direbbe di no, però ho visto che in molte applicazioni trovate online nonostante funzione e derivate non siano definite ovunque, procedono comunque con lo svolgimento dell'esercizio.
supponiamo che la funzione soddisfi la condizione del primo ordine, si ricercano ora i punti stazionari.
dobbiamo porre il gradiente pari a 0.
otteniamo il sistema
$\{(1- y^2/(4x^2)=0),(- z^2/(y^2)=0),(2z/y -2/z^2=0):}$
spero innanzitutto di non aver sbagliato le derivate. Potreste aiutarmi a risolvere il suddetto sistema?
Non sono molto bravo a risolvere i sistemi non lineari, superato questo punto non ho più problemi nella risoluzione dell'esercizio.
Vi ringrazio, mi scuso se ho commesso degli errori gravi o se sono caduto su cose banali, però purtroppo non toccavo questi argomenti da un paio di anni, quindi sono un po arrugginito
$ f(x, y, z) = x + y^2/(4x)+ z^2/y + 2/z $
innanzitutto $ f(x, y, z) $ dovrebbe essere definita per $x!=0 , y!=0, z!=0$ che possiamo mettere come condizione a sistema. Qui arriva il primo dubbio, la funzione non è quindi definita sugli assi dello spazio $R^3$ giusto? Oppure non è definita semplicemente nell'origine? tra le due credo che la prima ipotesi sia quella giusta.
Passiamo ora alla ricerca dei punti di min/max relati (o locali interni)
Per la condizione del primo ordine è sufficiente verificare che f$inC^1(R^3)$ ovvero f sia continua in tutto $R^3$ e dotata di derivate parziali continue su tutto $R^3$. Procedo con il calcolo delle derivate parziali prime.
$ fx(x, y, z) = 1- y^2/(4x^2) $ $ fy = 1/2(y/x) - z^2/(y^2)$ $fz = 2z/y -2/z^2$
La mia domanda è ora la seguente, f$inC^1(R^3)$ ? sappiamo che le derivate parziali cosi come la funzione f non è definita su tutto $R^3$, pertanto è continua in tutto $R^3$ ? vale pertanto la condizione sufficiente del primo ordine? Il mio intuito mi direbbe di no, però ho visto che in molte applicazioni trovate online nonostante funzione e derivate non siano definite ovunque, procedono comunque con lo svolgimento dell'esercizio.
supponiamo che la funzione soddisfi la condizione del primo ordine, si ricercano ora i punti stazionari.
dobbiamo porre il gradiente pari a 0.
otteniamo il sistema
$\{(1- y^2/(4x^2)=0),(- z^2/(y^2)=0),(2z/y -2/z^2=0):}$
spero innanzitutto di non aver sbagliato le derivate. Potreste aiutarmi a risolvere il suddetto sistema?
Non sono molto bravo a risolvere i sistemi non lineari, superato questo punto non ho più problemi nella risoluzione dell'esercizio.
Vi ringrazio, mi scuso se ho commesso degli errori gravi o se sono caduto su cose banali, però purtroppo non toccavo questi argomenti da un paio di anni, quindi sono un po arrugginito
A me il sistema delle derivate risulta il seguente:
${(1 - y^2/(4 x^2) = 0),(y/(2 x) - z^2/y^2 = 0),(-2/z^2 + (2 z)/y = 0):}$
che ha soluzioni $P_1(1/2, 1, 1) $ e $P_2(-1/2, - 1, - 1) $
${(1 - y^2/(4 x^2) = 0),(y/(2 x) - z^2/y^2 = 0),(-2/z^2 + (2 z)/y = 0):}$
che ha soluzioni $P_1(1/2, 1, 1) $ e $P_2(-1/2, - 1, - 1) $
"Masta":
Qui arriva il primo dubbio, la funzione non è quindi definita sugli assi dello spazio $R^3$ giusto? Oppure non è definita semplicemente nell'origine? tra le due credo che la prima ipotesi sia quella giusta.
Giusta la prima, tuttavia è importante capire perché è così: le condizioni sono su punti di $\mathbb{R}^3$, quindi la condizione $x \ne 0$ è in realtà $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ tali che $x \ne 0$, ossia tutti i punti che non appartengono al piano $yz$ (perché $y$ e $z$ non hanno restrizioni quando imponi $x \ne 0$, quindi sono libere di variare in $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$). Analogamente le altre due escludono i punti dei piani $xz$ e $xy$. Mettendo tutto insieme, devi escludere quei tre piani. L'origine è un caso particolare di queste condizioni.
"Masta":
Passiamo ora alla ricerca dei punti di min/max relati (o locali interni)
Per la condizione del primo ordine è sufficiente verificare che f$inC^1(R^3)$ ovvero f sia continua in tutto $R^3$ e dotata di derivate parziali continue su tutto $R^3$.
Non penso che le condizioni siano che la funzione sia di classe $\mathcal{C}^1 (\mathbb{R}^3)$, più verosimilmente sarà richiesta tale regolarità su un aperto contenuto nel dominio naturale di $f$. Lo stesso per le condizioni del secondo ordine, con $f$ di classe $\mathcal{C}^2$ in un aperto contenuto nel dominio naturale di $f$.
"Masta":
La mia domanda è ora la seguente, f$inC^1(R^3)$ ? sappiamo che le derivate parziali cosi come la funzione f non è definita su tutto $R^3$, pertanto è continua in tutto $R^3$ ? vale pertanto la condizione sufficiente del primo ordine? Il mio intuito mi direbbe di no, però ho visto che in molte applicazioni trovate online nonostante funzione e derivate non siano definite ovunque, procedono comunque con lo svolgimento dell'esercizio.
No, una funzione è continua/derivabile dove è definita, dove non è definita non ha senso chiedersi se possiede o meno queste proprietà. Anche qui, la condizione del primo ordine non si riferisce a tutto $\mathbb{R}^3$.
Se non voglio pensare male, gli svolgimenti online che hai trovato sono fatti bene e quindi vengono fatti negli aperti sopraccitati; altrimenti, se voglio pensare male, sono svolti un po' a caso. Dipende soprattutto dalla fonte di questi svolgimenti.
Per quanto riguarda i sistemi non lineari, si hanno pochi strumenti: sostituzione o confronto.
Un'ultima cosa: visti i dubbi, vorrei chiederti dove stai studiando. Dal corso? Da un libro di testo? Su internet? Perché tutte queste cose le trovi su un qualsiasi libro di testo decente, procedere così senza una guida o con una guida tendenzialmente inaffidabile come il web non funziona, neanche per togliere la ruggine.
Rischi di confonderti di più e basta.
Vi ringrazio per le risposte, sto studiando dagli appunti e da un libro del professore, l'esame di matematica generale l'ho sostenuto ormai 3 anni fa, quello che devo sostenere è matematica per le applicazioni finanziare. In sostanza dà per scontata tutta la matematica di base che c'è dietro alle applicazioni, pertanto cerco di colmare le mie lacune cercando qua e là in rete.
Ultima cosa, sapreste indicarmi i passaggi che portano alla risoluzione del sistema? Con i sistemi non lineari purtroppo non sono particolarmente abile.
Vi ringrazio ancora per la mano.
Ultima cosa, sapreste indicarmi i passaggi che portano alla risoluzione del sistema? Con i sistemi non lineari purtroppo non sono particolarmente abile.
Vi ringrazio ancora per la mano.
"Masta":
Ultima cosa, sapreste indicarmi i passaggi che portano alla risoluzione del sistema?
$ {(1 - y^2/(4 x^2) = 0),(y/(2 x) - z^2/y^2 = 0),(-2/z^2 + (2 z)/y = 0):} $
Farei così... Dalla prima ricaverei $y = \pm 2x $ e, dato che la soluzione $y = - 2x $ non potrà mai soddisfare la seconda equazione (l'opposto della somma di due quadrati non può essere $0$...), sostituirei $y = 2x $ nelle altre due: dalla seconda si ha $1 - z^2/(4x^2) = 0 \implies z^2 = 4x^2 \implies z = \pm 2x $ e quindi dall'ultima equazione si ottiene:
$ -2/(4x^2) \pm (4x)/(2x) = 0 $
$ -2/(4x^2) \pm 2 = 0 $
$1/(2x^2) = \pm 2 $
Non potendo un quadrato essere uguale a $- 2$, da quest'ultima equazione si ottengono le uniche due soluzioni reali $x_{1,2} =\pm 1/2 \implies y_{1,2} = \pm 1, z_{1,2} = \pm 1$
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