Esercizio Metodi Matematic
Salve ragazzi, stavo risolvendo questo esercizio di metodi matematici ma non so più come andare avanti. Gentilmente potreste darmi una mano? Grazie in anticipo!
Risposte
Prima di qualunque considerazione vorrei accertarmi che il testo sia chiaro. Devi calcolare: $int_(0)^(+oo) (logx)/(x^2+1) dx$ ?
Si
Ovviamente $int_(0)^(+oo) (logx)/(x^2+1) dx = int_(0)^(+oo) (log|x|)/(x^2+1) dx = 1/2 int_(-oo)^(+oo) (log|x|)/(x^2+1) dx$.
I contributi calcolati con il lemma del grande cerchio e il lemma del piccolo cerchio (intorno a $0$) sono nulli.
Calcoliamo il residuo della funzione integranda nell'unico polo a coefficiente dell'immaginario positivo, risulta:
$R[j] = (log|j|)/(j+j) = log1/(2j) = 0$
L'integrale cercato risulta quindi essere $0$.
I contributi calcolati con il lemma del grande cerchio e il lemma del piccolo cerchio (intorno a $0$) sono nulli.
Calcoliamo il residuo della funzione integranda nell'unico polo a coefficiente dell'immaginario positivo, risulta:
$R[j] = (log|j|)/(j+j) = log1/(2j) = 0$
L'integrale cercato risulta quindi essere $0$.
Allo stesso risultato si poteva arrivare senza scomodare la teoria delle funzioni di variabile complessa nel modo seguente…
Evidentemente è…
$int_0^(+oo) ln x/(1+x^2)* dx= int_0^1 ln x/(1+x^2)*dx + int _1^(+oo) ln x/(1+x^2)*dx$ (1)
Operando la sostituzione $t=1/x$ nel secondo integrale questo diviene…
$int_1^(+oo) ln x/(1+x^2)*dx = int_0^1 ln (1/t) /(t^2*(1+1/t^2))*dt= - int_0^1 ln t/(1+t^2)*dt$ (2)
… e pertanto l’integrale complessivo è nullo…
cordiali saluti
lupo grigio
an old wolf may lose his teeth, but never his nature
Evidentemente è…
$int_0^(+oo) ln x/(1+x^2)* dx= int_0^1 ln x/(1+x^2)*dx + int _1^(+oo) ln x/(1+x^2)*dx$ (1)
Operando la sostituzione $t=1/x$ nel secondo integrale questo diviene…
$int_1^(+oo) ln x/(1+x^2)*dx = int_0^1 ln (1/t) /(t^2*(1+1/t^2))*dt= - int_0^1 ln t/(1+t^2)*dt$ (2)
… e pertanto l’integrale complessivo è nullo…
cordiali saluti
lupo grigio
an old wolf may lose his teeth, but never his nature
Visto che l'ho fatta posto pure la mia soluzione.
Consideriamo la funzione:
$f(z)=(lnz)/(1+z^2)$
Il residuo nel polo z=i
e':
$R=lim_(z->i)(z-i)(lnz)/(z^2+1)=(lni)/(2i)=(pi//2i)/(2i)=(pi)/4$
Con riferimento alla figura si ha quindi:
(0)$int_(-R)^(-r)(lnz)/(1+z^2)dz+int_(gamma_1)(lnz)/(1+z^2)dz+int_(r)^(R)(lnz)/(1+z^2)dz+int_(gamma_2)(lnz)/(1+z^2)dz=(2pi i)*(pi)/4=(pi^2)/2*i$
Nel primo integrale poniamo z=-u e dunque:
$int_(-R)^(-r)(lnz)/(1+z^2)dz=int_(r)^(R)(lnu+pi i)/(1+u^2)du$
e sostituendo nella (0):
(1) $2int_(r)^(R)(lnu)/(1+u^2)dz+int_(gamma_1)(lnz)/(1+z^2)dz+ipiint_(r)^(R)1/(1+u^2)du+int_(gamma_2)(lnz)/(1+z^2)dz=(2pi i)*(pi)/4=(pi^2)/2*i$
Passando al limite per $r->0,R->oo$ si osserva che l'integrale esteso a $gamma_1$ va a zero,
mentre per l'altro integrale si ha quanto segue.
Poniamo $z=rhoe^(itheta)$ da cui $dz=izd theta$ e quindi:
$int_(gamma_2)(lnz)/(1+z^2)dz=int_0^(pi)(izlnz)/(1+z^2)d theta$
Da cui
$|int_(gamma_2)(lnz)/(1+z^2)dz|<=int_0^(pi)|(zlnz)/(1+z^2)|d theta$
Ora si ha :
$lim_(z->oo)|(zlnz)/(1+z^2)|=0$ uniformemente e cioe' indipendentemente da $theta$
e quindi,per z sufficientemente grande, si ha:
$|(zlnz)/(1+z^2)|
che l'integrale su $gamma_2$ rende a zero e pertanto al limite la (1) si riduce a:
$2int_0^(oo)(lnx)/(1+x^2)dx+ipiint_0^(oo)1/(1+x^2)dx=(pi^2)/2i$ e da qui:
$int_0^(oo)(lnx)/(1+x^2)=0$ che e' il richiesto valore
$int_0^(oo)1/(1+x^2)=(pi)/2$ che e' un altro ,arcinoto valore.
Il risultato ottenuto fa parte di un procedimento piu' generale che,
con l'utilizzo del cosiddetto "lemma di Jordan",consente di calcolare
integrali della forma $int_(-oo)^(+oo)f(x)dx,int_o^(+oo)f(x)dx$
karl
Grazie mille ragazzi, mi siete stati veramente utilissimi, non so come ringraziarvi! Approfitto della vostra pazienza per chiedervi un altro integrale che ho provato a risolvere in un modo, anche se la mia professoressa mi ha detto che ne esiste uno più rapido per vedere il valore dell'integrale. L'integrale è il seguente:
Io pensavo di risolverlo scindendo l'integrale di partenza in due integrali: uno che ha come estremi [-π,0], l'altro [0, +oo].
Grazie ancora in anticipo!
Io pensavo di risolverlo scindendo l'integrale di partenza in due integrali: uno che ha come estremi [-π,0], l'altro [0, +oo].
Grazie ancora in anticipo!
Consideriamo questo integrale: $int_(-oo)^(+oo) sint/t dt$.
Questo è un integrale famoso e, sebbene la funzione $sint/t$ non sia sommabile su $RR$, vale $pi$, dunque $int_(-oo)^(+oo) sint/t dt = pi$.
Ora notiamo che $sint/t$ è una funzione pari e dunque $int_(0)^(+oo) sint/t dt = 1/2 int_(-oo)^(+oo) sint/t dt = pi/2$.
Effettuiamo ora nell'espressione $int_(0)^(+oo) sint/t dt$ la sostituzione $t=x+pi$.
Ovviamente $t=0 => x=-pi$ e $t=+oo => x=+oo$, inoltre $sin(x+pi) = sinx cospi + cosx sinpi = -sinx$.
Risulta quindi: $int_(0)^(+oo) sint/t dt = - int_(-pi)^(+oo) sinx/(x+pi) dx$.
Chiaramente allora $int_(-pi)^(+oo) sinx/(x+pi) dx = -pi/2$.
Questo è un integrale famoso e, sebbene la funzione $sint/t$ non sia sommabile su $RR$, vale $pi$, dunque $int_(-oo)^(+oo) sint/t dt = pi$.
Ora notiamo che $sint/t$ è una funzione pari e dunque $int_(0)^(+oo) sint/t dt = 1/2 int_(-oo)^(+oo) sint/t dt = pi/2$.
Effettuiamo ora nell'espressione $int_(0)^(+oo) sint/t dt$ la sostituzione $t=x+pi$.
Ovviamente $t=0 => x=-pi$ e $t=+oo => x=+oo$, inoltre $sin(x+pi) = sinx cospi + cosx sinpi = -sinx$.
Risulta quindi: $int_(0)^(+oo) sint/t dt = - int_(-pi)^(+oo) sinx/(x+pi) dx$.
Chiaramente allora $int_(-pi)^(+oo) sinx/(x+pi) dx = -pi/2$.
Salve raga; non riesco ad impostare questi due integrali:
(24) Non so come comportarmi con la radice cubica, per il problema delle regioni fondamentali
(38) Non so che funzione usare!
Aspetto con ansia una vostra risposta. Grazie in anticipo![/url]
(24) Non so come comportarmi con la radice cubica, per il problema delle regioni fondamentali
(38) Non so che funzione usare!
Aspetto con ansia una vostra risposta. Grazie in anticipo![/url]
cliccando sull'immagine non si vede niente...
Il file immagine è il seguente: 
per il 24) puoi usare il cammino del 25), che hai postato all'inizio
per l'altro eseguendo la sostituzione $sqrt(x)=t$, $dx=2sqrtxdt$, l'integrale diventa
$int_0^(+infty)2(cost^2-sent^2)dt=0$ utilizzando gli integrali di Fresnel, $int_0^(+infty) sent^2dt=int_0^(+infty)cost^2dt=1/2sqrt(pi/2)$.
Se trovi qualche difficoltà chiedi pure.
per l'altro eseguendo la sostituzione $sqrt(x)=t$, $dx=2sqrtxdt$, l'integrale diventa
$int_0^(+infty)2(cost^2-sent^2)dt=0$ utilizzando gli integrali di Fresnel, $int_0^(+infty) sent^2dt=int_0^(+infty)cost^2dt=1/2sqrt(pi/2)$.
Se trovi qualche difficoltà chiedi pure.
Senza usare l'analisi complessa, io risolverò il 24) con la teoria di integrazione in $RR$
$int_{0}^{+infty}root(3)x/(x^2+1)dx$
$root(3)x=t$ $->$ $x=t^3$ $->$ $dx=3t^2dt$ $->$
$int_{0}^{+infty}root(3)x/(x^2+1)dx=int_{0}^{+infty}(3t^3)/(t^6+1)dt$
Ora $t^6+1=(t^2+1)(t^2+t*sqrt(3)+1)(t^2-t*sqrt(3)+1)$
Per cui
$(3t^3)/(t^6+1)=(At+B)/(t^2+1)+(Ct+D)/(t^2+t*sqrt(3)+1)+(Et+F)/(t^2-t*sqrt(3)+1)$ e per l'identità dei polinomi si trova:
${(A=-1),(B=0),(C=1/2),(D=0),(E=1/2),(F=0):}$
Quindi
$(3t^3)/(t^6+1)=1/4*[(-4t)/(t^2+1)+(2t+sqrt(3))/(t^2+t*sqrt(3)+1)+(-4sqrt(3))/(1+(2t+sqrt(3))^2)+(2t-sqrt(3))/(t^2-t*sqrt(3)+1)+(4sqrt(3))/(1+(2t-sqrt(3))^2)]$
Per cui
$int_{0}^{+infty}(3t^3)/(t^6+1)dt=1/4*[-2ln(1+t^2)+ln(t^2+t*sqrt(3)+1)-2sqrt(3)arctg(sqrt(3)+2t)+ln(t^2-t*sqrt(3)+1)+2sqrt(3)arctg(2t-sqrt(3))]_{0}^{+infty}$=
$1/4*[ln((t^4-t^2+1)/(t^4+2t^2+1))-2sqrt(3)arctg(sqrt(3)+2t)+2sqrt(3)arctg(2t-sqrt(3))]_{0}^{+infty}=1/4*[-2sqrt(3)*pi/2+2sqrt(3)*(pi/2)+2sqrt(3)arctg(sqrt(3))-2sqrt(3)arctg(-sqrt(3))]$=
$1/4*[2sqrt(3)*arctg(sqrt(3))+2sqrt(3)*arctg(sqrt(3))]=1/4*4sqrt(3)arctg(sqrt(3))=sqrt(3)*pi/3=(sqrt(3))/3*pi$
E' ovvio che con l'integrazione in campo complesso si fa in modo più semplice:
ma per chi non conosce i residui allora è stato un modo per risolvere un integrale più che ostico.
$int_{0}^{+infty}root(3)x/(x^2+1)dx$
$root(3)x=t$ $->$ $x=t^3$ $->$ $dx=3t^2dt$ $->$
$int_{0}^{+infty}root(3)x/(x^2+1)dx=int_{0}^{+infty}(3t^3)/(t^6+1)dt$
Ora $t^6+1=(t^2+1)(t^2+t*sqrt(3)+1)(t^2-t*sqrt(3)+1)$
Per cui
$(3t^3)/(t^6+1)=(At+B)/(t^2+1)+(Ct+D)/(t^2+t*sqrt(3)+1)+(Et+F)/(t^2-t*sqrt(3)+1)$ e per l'identità dei polinomi si trova:
${(A=-1),(B=0),(C=1/2),(D=0),(E=1/2),(F=0):}$
Quindi
$(3t^3)/(t^6+1)=1/4*[(-4t)/(t^2+1)+(2t+sqrt(3))/(t^2+t*sqrt(3)+1)+(-4sqrt(3))/(1+(2t+sqrt(3))^2)+(2t-sqrt(3))/(t^2-t*sqrt(3)+1)+(4sqrt(3))/(1+(2t-sqrt(3))^2)]$
Per cui
$int_{0}^{+infty}(3t^3)/(t^6+1)dt=1/4*[-2ln(1+t^2)+ln(t^2+t*sqrt(3)+1)-2sqrt(3)arctg(sqrt(3)+2t)+ln(t^2-t*sqrt(3)+1)+2sqrt(3)arctg(2t-sqrt(3))]_{0}^{+infty}$=
$1/4*[ln((t^4-t^2+1)/(t^4+2t^2+1))-2sqrt(3)arctg(sqrt(3)+2t)+2sqrt(3)arctg(2t-sqrt(3))]_{0}^{+infty}=1/4*[-2sqrt(3)*pi/2+2sqrt(3)*(pi/2)+2sqrt(3)arctg(sqrt(3))-2sqrt(3)arctg(-sqrt(3))]$=
$1/4*[2sqrt(3)*arctg(sqrt(3))+2sqrt(3)*arctg(sqrt(3))]=1/4*4sqrt(3)arctg(sqrt(3))=sqrt(3)*pi/3=(sqrt(3))/3*pi$
E' ovvio che con l'integrazione in campo complesso si fa in modo più semplice:
ma per chi non conosce i residui allora è stato un modo per risolvere un integrale più che ostico.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo