Esercizio max e min funzione
ciao, pensavo di aver risolto l'esercizio quando lo confronto con wolframalpha :\
si devono trovare massimi e minimi della funzione $sinx*cosx+cosx$ in $[0,2pi]$
calcolo la derivata: $cos^2x-sin^2x-sinx=1-2sin^2x-sinx$
e dovrei trovare dove è $>0$ sostituisco $t=sinx$ ed ottengo che è positiva per $-1
per trovare i punti di max e min sostituisco questi punti critici ed ottengo: $f(0)=f(2pi)=1$
$ f(-1)=0,09$
$ f(1/2)=0,38$
ma guardando il grafico di wolframalpha non è così: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sinxcosx%2Bcosx
qualche suggerimento? ci sono errori?
grazie
si devono trovare massimi e minimi della funzione $sinx*cosx+cosx$ in $[0,2pi]$
calcolo la derivata: $cos^2x-sin^2x-sinx=1-2sin^2x-sinx$
e dovrei trovare dove è $>0$ sostituisco $t=sinx$ ed ottengo che è positiva per $-1
per trovare i punti di max e min sostituisco questi punti critici ed ottengo: $f(0)=f(2pi)=1$
$ f(-1)=0,09$
$ f(1/2)=0,38$
ma guardando il grafico di wolframalpha non è così: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sinxcosx%2Bcosx
qualche suggerimento? ci sono errori?
grazie
Risposte
Innanzitutto puoi dire che, essendo la tua $f$ definita in un intervallo chiuso e limitato e continua in tale intervallo (perché somma e prodotto di funzioni continue), esistono massimo e minimo assoluto in tale intervallo per il Teorema di Weiestrass (o come si scrive, non lo ricorderò mai).
I punti di massimo e minimo assoluti li vai a cercare dove si annulla la derivata prima (infatti, se $x_0$ è un punto di massimo o minimo relativo $f'(x_0)=0$ per il Teorema di Fermat), dove la funzione non è derivabile e negli estremi dell'intervallo.
Nel tuo caso specifico, devi andarli a cercare tra i punti in cui si annulla la derivata e negli estremi dell'intervallo, poiché la terza possibilità va esclusa perché la tua funzione è derivabile (prodotto e somma di funzioni derivabili).
Dunque, supponiamo che $x_1$ e $x_2$ risolvano l'equazione $1-2\sin^2{x}-\sin{x}=0$ nel tuo intervallo (potrebbero essere di più, non l'ho fatto il conto, ma il ragionamento non cambia).
Allora il massimo assoluto è il $max{f(0),f(2\pi),f(x_1),f(x_2)}$ e il minimo assoluto è il $min{f(0),f(2\pi),f(x_1),f(x_2)}$.
PS. Oltre ad aver fatto confusione con la definizione di punto critico (un punto è critico se ivi si annulla la derivata prima, cosa che te non hai nemmeno menzionato), perché se cerchi massimi e minimi assoluti in $[0,2\pi]$ ti sei calcolato $f(-1)$? In più, dubito fortemente che $f(1/2)$ sia proprio uguale a $0,38$, semmai ne è un'approssimazione, cosa che ai matematici piace poco.
Un po' come quando al liceo alcuni scrivevano: "$\pi=3,14$" e la prof, puntualmente: "Ma cosa vi ha fatto il pi greco? Non potete lasciarlo indicato con il suo nome?".
I punti di massimo e minimo assoluti li vai a cercare dove si annulla la derivata prima (infatti, se $x_0$ è un punto di massimo o minimo relativo $f'(x_0)=0$ per il Teorema di Fermat), dove la funzione non è derivabile e negli estremi dell'intervallo.
Nel tuo caso specifico, devi andarli a cercare tra i punti in cui si annulla la derivata e negli estremi dell'intervallo, poiché la terza possibilità va esclusa perché la tua funzione è derivabile (prodotto e somma di funzioni derivabili).
Dunque, supponiamo che $x_1$ e $x_2$ risolvano l'equazione $1-2\sin^2{x}-\sin{x}=0$ nel tuo intervallo (potrebbero essere di più, non l'ho fatto il conto, ma il ragionamento non cambia).
Allora il massimo assoluto è il $max{f(0),f(2\pi),f(x_1),f(x_2)}$ e il minimo assoluto è il $min{f(0),f(2\pi),f(x_1),f(x_2)}$.
PS. Oltre ad aver fatto confusione con la definizione di punto critico (un punto è critico se ivi si annulla la derivata prima, cosa che te non hai nemmeno menzionato), perché se cerchi massimi e minimi assoluti in $[0,2\pi]$ ti sei calcolato $f(-1)$? In più, dubito fortemente che $f(1/2)$ sia proprio uguale a $0,38$, semmai ne è un'approssimazione, cosa che ai matematici piace poco.
Un po' come quando al liceo alcuni scrivevano: "$\pi=3,14$" e la prof, puntualmente: "Ma cosa vi ha fatto il pi greco? Non potete lasciarlo indicato con il suo nome?".
l'approssimazione era per farmi un'idea di chi è più grande 
essendo una equazione di secondo grado ammette al più due incognite, comunque domani con calma ristudio dove si annulla la derivata prima
grazie!
essendo una equazione di secondo grado ammette al più due incognite, comunque domani con calma ristudio dove si annulla la derivata prima
grazie!
Devi poi risolvere le equazioni $\sinx=t_1$ e $\sinx=t_2$ che nel periodo possono avere più di una soluzione a testa (e se ricordo bene il grafico della tua funzione, essa ha tre punti critici di cui due di estremo locale).
Ciao.
Ciao.
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