Esercizio: max e min assoluti vincolati
Non riesco a risolvere questo esercizio,utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Si consideri il sottinsieme compatto di $ R^2 $, $ Γ = { x in R^2 : 9x_1^2 + 16x_2^2 = 25 }$ e la funzione continua $f(x) = x_1x_2 : R^2 -> R$
Si determino i punti di minimo e massimo assoluto di f su Γ.
Ho impostato il sistema:
$x_2 = 18x_1$$\lambda$
$x_1= 32x_2$$\lambda$
$9x_1^2 + 16x_2^2 = 25$
Ma non riesco ad andare oltre.Qualcuno può aiutarmi?
Si consideri il sottinsieme compatto di $ R^2 $, $ Γ = { x in R^2 : 9x_1^2 + 16x_2^2 = 25 }$ e la funzione continua $f(x) = x_1x_2 : R^2 -> R$
Si determino i punti di minimo e massimo assoluto di f su Γ.
Ho impostato il sistema:
$x_2 = 18x_1$$\lambda$
$x_1= 32x_2$$\lambda$
$9x_1^2 + 16x_2^2 = 25$
Ma non riesco ad andare oltre.Qualcuno può aiutarmi?
Risposte
Bisogna risolvere il sistema, no ?
E' la soluzione del sistema che non riesci a fare ?
E' la soluzione del sistema che non riesci a fare ?
Si.Io sostituirei $x_1$ dalla seconda equazione nella prima:
$x_2=576x_2$$\lambda^2$ da cui $x_2(1 - 576$$\lambda^2$)$=0$
e quindi $x_2=0$ e $\lambda$$= + o - 1/24 $.
sostituisco $x_2=0$ nell'ultima e trovo $9x_1^2 = 25 $ da cui $x_1= + o - 5/3$
Poi sostituisco i risultati nella seconda equazione del sistema e trovo i punti:
(5/3 , 5/4 , 1/24) e (-5/3 , -5/4 , -1/24).
E' giusto?
$x_2=576x_2$$\lambda^2$ da cui $x_2(1 - 576$$\lambda^2$)$=0$
e quindi $x_2=0$ e $\lambda$$= + o - 1/24 $.
sostituisco $x_2=0$ nell'ultima e trovo $9x_1^2 = 25 $ da cui $x_1= + o - 5/3$
Poi sostituisco i risultati nella seconda equazione del sistema e trovo i punti:
(5/3 , 5/4 , 1/24) e (-5/3 , -5/4 , -1/24).
E' giusto?
A parte qualche errore di calcolo, più o meno ci siamo.
Hai messo anche $\lambda$ nelle coordinate del punto. Perchè ?
Hai messo anche $\lambda$ nelle coordinate del punto. Perchè ?
Errore di calcolo?dove?
$\lambda$ che fine fa?pensavo si mettesse la!
Quindi il risultato è semplicemente: max in (5/3 , 5/4) e min in (-5/3 , -5/4) ?
$\lambda$ che fine fa?pensavo si mettesse la!
Quindi il risultato è semplicemente: max in (5/3 , 5/4) e min in (-5/3 , -5/4) ?
"herix":
Errore di calcolo?dove?
$\lambda$ che fine fa?pensavo si mettesse la!
Quindi il risultato è semplicemente: max in (5/3 , 5/4) e min in (-5/3 , -5/4) ?
Puoi anche guardarci tu, sai, sono 4 moltiplicazioni e una somma.
Secondo me non hai capito cos'è lambda... ti conviene riguardare un po' la teoria.
Ho ricontrollato i calcoli ma non trovo l'errore.
Dopo aver trovato $x_2=0$ e $\lambda$$=+ o - 1/24$
sostituisco $x_2=0$ nell'equazione $9x_1^2 + 16x_2^2 = 25$.
Ho : $9x_1^2=25$ da cui $x_1= + o - 5/3$.
A questo punto sostituisco il tutto in: $x_1=32x_2$$\lambda$ e trovo
così: $x_2= 24*5/(32*3)$ che risolto da $5/4$.dove sbaglio?
Dopo aver trovato $x_2=0$ e $\lambda$$=+ o - 1/24$
sostituisco $x_2=0$ nell'equazione $9x_1^2 + 16x_2^2 = 25$.
Ho : $9x_1^2=25$ da cui $x_1= + o - 5/3$.
A questo punto sostituisco il tutto in: $x_1=32x_2$$\lambda$ e trovo
così: $x_2= 24*5/(32*3)$ che risolto da $5/4$.dove sbaglio?
Ci sono degli errori.
Io credo di averti aiutato abbastanza, ora devo andare a lavorare in azienda.
Adios
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