Esercizio: massimo della derivata direzionale
ciao a tutti
ho un simpatico esercizio sulla derivata direzionale che si spezza in due punti di quesito:
1) dato la funzione:
$f(x,y) =x^3 + 3 x^2 y$
calcolare la derivata direzionale:
$(df(x_0,y_0))/du$ con $u=(1/sqrt(2), -1/sqrt(2))$
la norma di u è $1$
per applicare la tesi del teorema della derivata direzionale per usare il prodotto scalare tra $grad f$ e $u$ devo verificare che la f sia differenziabile.,...applico la relazione di limite e trovo (dopo un pò di passaggi) che il $lim_(x,y)->(x_0,y_0) $ fa 0
quindi:
$f_x = 3 x^2 + 6 xy$
$f_y = 3 x^2$
e quindi: $f_x (1,0) = 3$ e $f_y (1,0) = 3$
dev direzionale è $(3,3)*(1/sqrt(2), -1/sqrt(2)) = 0$
2) calcolare:
$max {(df(1,0))/(dv) | |v| = 1}$
mi sta chiedendo di fare max e min, e vedere quale sia il massimo?
help xD
ho un simpatico esercizio sulla derivata direzionale che si spezza in due punti di quesito:
1) dato la funzione:
$f(x,y) =x^3 + 3 x^2 y$
calcolare la derivata direzionale:
$(df(x_0,y_0))/du$ con $u=(1/sqrt(2), -1/sqrt(2))$
la norma di u è $1$
per applicare la tesi del teorema della derivata direzionale per usare il prodotto scalare tra $grad f$ e $u$ devo verificare che la f sia differenziabile.,...applico la relazione di limite e trovo (dopo un pò di passaggi) che il $lim_(x,y)->(x_0,y_0) $ fa 0
quindi:
$f_x = 3 x^2 + 6 xy$
$f_y = 3 x^2$
e quindi: $f_x (1,0) = 3$ e $f_y (1,0) = 3$
dev direzionale è $(3,3)*(1/sqrt(2), -1/sqrt(2)) = 0$
2) calcolare:
$max {(df(1,0))/(dv) | |v| = 1}$
mi sta chiedendo di fare max e min, e vedere quale sia il massimo?
help xD
Risposte
Scusami, considerato che hai scritto che la derivata direzionale di $f$ in $(1,0)$ secondo il vettore $u$ è data dal prodotto scalare del gradiente di $f$ e dal vettore $u$, quale sarà in generale la derivata direzionale di $f$ in $(1,0)$ se consideri un qualsiasi vettore unitario $v0(a,b)$? E visto che $v$ è unitario, come puoi scegliere $a,b$? Una volta fatto questo, otterrai una funzione di una variabile di cui calcolare il massimo.
in generale:
$df(1,0)/dv = (f_x (1,0); f_y (1,0))*(a,b)) = 3 a + 3 b$
affinche il vettore v sia unitario deve accadere che:
$1 = sqrt(a^2 + b^2) $
ovvero:
$1 = a^2 + b^2$
da cui ricavare $a$ o $b$
in tale modo se la butto tale relazione ($b= sqrt(1-a^2)$) in $3 a + 3 b$ verrebbe una f in una variabile, e calcolare il max rispetto ad $a$?
intendi questo?
$df(1,0)/dv = (f_x (1,0); f_y (1,0))*(a,b)) = 3 a + 3 b$
affinche il vettore v sia unitario deve accadere che:
$1 = sqrt(a^2 + b^2) $
ovvero:
$1 = a^2 + b^2$
da cui ricavare $a$ o $b$
in tale modo se la butto tale relazione ($b= sqrt(1-a^2)$) in $3 a + 3 b$ verrebbe una f in una variabile, e calcolare il max rispetto ad $a$?
intendi questo?
Sì, il ragionamento è questo. Ma c'è un modo più semplice per scegliere $a,b$. Due suggerimenti:
1) ricorda che $v$ rappresenta una direzione nel piano;
2) pensa alla relazione $a^2+b^2=1$ e a qualcosa di familiare.
Nota: in generale comunque potresti avere $b=\pm\sqrt{1-a^2}$.
1) ricorda che $v$ rappresenta una direzione nel piano;
2) pensa alla relazione $a^2+b^2=1$ e a qualcosa di familiare.
Nota: in generale comunque potresti avere $b=\pm\sqrt{1-a^2}$.
non vorrei dire castronerie...ma la maggior parte dei vettori $v$ che ho visto negli esercizi sono della forma
$v = \gamma (1,-1) $
con $\gamma$ non nullo.
non so se sia un osservazione corretta o meno....e non so nemmeno se mi può portare a qualche conclusione
$v = \gamma (1,-1) $
con $\gamma$ non nullo.
non so se sia un osservazione corretta o meno....e non so nemmeno se mi può portare a qualche conclusione
L'unico vettore di modulo 1 con quella forma che hai scritto è quello per cui $\gamma=\pm 1/{\sqrt{2}}$ non ti pare? Qui invece stiamo parlando di vettori di modulo uno in generale. Pensa al secondo suggerimento che ti ho dato....
si hai ragione.....
mi sa che forse non ho afferrato il tuo suggerimento....sto vagando nella fantasia...
ho pensato di sommare di amo i membri di una quantità $-2ab$
$a^2 + b^2 - 2 ab = 1 - 2 ab$
$(a-b)^2 = 1 - 2 ab$
dato che
$(a-b)^2 >= 0$ (è 0 se e solo se $a=b$)
quindi anche il secondo membro:
$1 - 2 ab>=0$
$ab <= 1/2$
una specie di relazione 'buona' per verificare che sono scelti bene $a$ e $b$
sono sicuro che son ben lontano dalla 'verità'...
mi sa che forse non ho afferrato il tuo suggerimento....sto vagando nella fantasia...
ho pensato di sommare di amo i membri di una quantità $-2ab$
$a^2 + b^2 - 2 ab = 1 - 2 ab$
$(a-b)^2 = 1 - 2 ab$
dato che
$(a-b)^2 >= 0$ (è 0 se e solo se $a=b$)
quindi anche il secondo membro:
$1 - 2 ab>=0$
$ab <= 1/2$
una specie di relazione 'buona' per verificare che sono scelti bene $a$ e $b$
sono sicuro che son ben lontano dalla 'verità'...
E cosa te ne fai? Scusa, ti faccio una domanda: tu sei nell'origine del piano cartesiano, ok? Come mi definiresti la direzione Nord-Est? Dandomi che tipo di informazione sul piano? Considera che tale direzione è un vettore (fai l'analogia con la fisica, se vuoi) per cui ci saranno modalità standard per definirla. E a quel punto chiediti: tra tutti i vettori che rappresentano quella direzione, quale è quello di modulo 1?
P.S.: e comunque, la forma in cui ti conviene esprimere il vettore prescinde dall'esplicitare b in funzione di a o viceversa. In pratica, ti serve scrivere sia a che b in termini di una qualche altra variabile.
P.S.: e comunque, la forma in cui ti conviene esprimere il vettore prescinde dall'esplicitare b in funzione di a o viceversa. In pratica, ti serve scrivere sia a che b in termini di una qualche altra variabile.
io partirei dalla geometria....
data una base
$B=(e_1, e_2)$
e un vettore che rappresenti lo spazio direttore:
$u = u_1 e_1 + u_2 e_2$
le coordinate di un generico vettore nel piano sarà
$x=x_0 + \gamma u_1$
$y= y_0 + \gamma u_2$
sto punto e accapo....
data una base
$B=(e_1, e_2)$
e un vettore che rappresenti lo spazio direttore:
$u = u_1 e_1 + u_2 e_2$
le coordinate di un generico vettore nel piano sarà
$x=x_0 + \gamma u_1$
$y= y_0 + \gamma u_2$
sto punto e accapo....
Non hai risposto alle mie domande.
un versore ha modulo unitario...
quindi tutti i vettori se normalizzati potrebbero diventare versori...
quindi tutti i vettori se normalizzati potrebbero diventare versori...
Tutte le domande! Nell'ordine in cui le ho scritte!
1) tu sei nell'origine del piano cartesiano,
$(0,0)$
2) Come mi definiresti la direzione Nord-Est
con un angolo che rispetto all'asse est è pari a $\pi/4$ e di lunghezza $l$
oppure con un vettore avente componenti $(a_x, a_y)$ la cui somma vettoriale (regola del parallelogramma) è data da due vettori $u$ e $v$ di $R^2$, mi dia proprio nord\est
3) Dandomi che tipo di informazione sul piano?
il piano viene generato da $u$ e $v$, la cui direzione coincide con quella nord est
4) tra tutti i vettori che rappresentano quella direzione, quale è quello di modulo 1?
i vettori che formano la base del piano cartesiano
$(1,0)$ $(0,1)$
[credo che sia piu semplice di quanto immagini....ma forse mi sto solo perdendo....]
$(0,0)$
2) Come mi definiresti la direzione Nord-Est
con un angolo che rispetto all'asse est è pari a $\pi/4$ e di lunghezza $l$
oppure con un vettore avente componenti $(a_x, a_y)$ la cui somma vettoriale (regola del parallelogramma) è data da due vettori $u$ e $v$ di $R^2$, mi dia proprio nord\est
3) Dandomi che tipo di informazione sul piano?
il piano viene generato da $u$ e $v$, la cui direzione coincide con quella nord est
4) tra tutti i vettori che rappresentano quella direzione, quale è quello di modulo 1?
i vettori che formano la base del piano cartesiano
$(1,0)$ $(0,1)$
[credo che sia piu semplice di quanto immagini....ma forse mi sto solo perdendo....]
E' il punto due la soluzione: una direzione è determinata da un angolo. E ora, figlio bello, quale relazione trigonometrica assomiglia tanto alla condizione $a^2+b^2=1$????
la fondamentale:
$cos^2 \theta + sin^2 \theta = 1$
$cos^2 \theta + sin^2 \theta = 1$
Ecco, e quindi secondo te che forma deve avere un vettore generico, di modulo unitario, nel piano, in modo che le sue componenti dipendano da uno stesso parametro?
$v=(a,b)$
$v(\theta) = (cos \theta, sin \theta)$
$v(\theta) = (cos \theta, sin \theta)$
Eureka! A questo punto non dovrebbe essere difficile concludere l'esercizio.
$ f(\theta) = 3 cos \theta + 3 sin \theta $
$(df)/d\theta = - 3 sin \theta + 3 cos \theta$
$- 3 sin \theta + 3 cos \theta > 0$
$- sin \theta + cos \theta > 0$
divido per $cos \theta$ ottengo:
$ (- tg \theta + 1)/(cos \theta) > 0$
ovvero:
$tg \theta < 1$ U $cos \theta < 0$
oppure
$tg \theta > -1$ U $cos \theta > 0$
*_* ??
$(df)/d\theta = - 3 sin \theta + 3 cos \theta$
$- 3 sin \theta + 3 cos \theta > 0$
$- sin \theta + cos \theta > 0$
divido per $cos \theta$ ottengo:
$ (- tg \theta + 1)/(cos \theta) > 0$
ovvero:
$tg \theta < 1$ U $cos \theta < 0$
oppure
$tg \theta > -1$ U $cos \theta > 0$
*_* ??
Sì, quello. Io la risolverei scrivendola così: $\cos\theta(1-\tan\theta)>0$, studianod separatamente i due fattori e determinando il segno del loro prodotto, piuttosto che costruendo i due sistemi (e il simbolo giusto è $\cap$ non $\cup$).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo