Esercizio massimizzazione dell'angolo
Buongiorno,
ho provato a svolgere questo esercizio del corso di Analisi 1:
32) Un quadro di altezza $ h $ cm `e appeso a una parete con il lato inferiore posto b cm sopra il livello degli occhi di un osservatore che si trova di fronte al quadro. A quale distanza dalla parete si deve mettere l’osservatore per massimizzare l’angolo ϑ che l’altezza del quadro sottende al suo occhio?
Partendo da questo schizzo, credo che l'angolo $ ϑ $ sia massimizzato quando $ ϑ = b $ (nella foto ϑ si chiama angolo $ a $ ).
So che $ cos(2ϑ) = cos^2 (ϑ) - sin^2 (ϑ) = (c)/(l2) $ , dove $ c $ è la distanza tra la persona e la parete, mentre $ l2 $ è la distanza tra l'uomo e la cima del quadro.
Esplicito $ c $ ed ottengo $ c = cos(2ϑ) * l2 $
E' giusto?
ho provato a svolgere questo esercizio del corso di Analisi 1:
32) Un quadro di altezza $ h $ cm `e appeso a una parete con il lato inferiore posto b cm sopra il livello degli occhi di un osservatore che si trova di fronte al quadro. A quale distanza dalla parete si deve mettere l’osservatore per massimizzare l’angolo ϑ che l’altezza del quadro sottende al suo occhio?
Partendo da questo schizzo, credo che l'angolo $ ϑ $ sia massimizzato quando $ ϑ = b $ (nella foto ϑ si chiama angolo $ a $ ).
So che $ cos(2ϑ) = cos^2 (ϑ) - sin^2 (ϑ) = (c)/(l2) $ , dove $ c $ è la distanza tra la persona e la parete, mentre $ l2 $ è la distanza tra l'uomo e la cima del quadro.
Esplicito $ c $ ed ottengo $ c = cos(2ϑ) * l2 $
E' giusto?
Risposte
Questi esercizi mi lasciano molto perplesso 
Se vuoi farlo con le derivate (in stile Analisi \(\displaystyle \simeq 1 \)) puoi considerare (chiamo $alpha$ l'angolo complessivo, diviso in $theta$ e in $beta$) \[\displaystyle \alpha(c)=\arctan\left[\frac{b+h}{c}\right] \] \[\displaystyle \beta(c)=\arctan\left[\frac{b}{c}\right] \]
e notare che \(\displaystyle \theta(c)=\alpha-\beta \). A questo punto puoi derivare e trovare il valore di \(\displaystyle c \) che ti serve.
Se vuoi farlo con le derivate (in stile Analisi \(\displaystyle \simeq 1 \)) puoi considerare (chiamo $alpha$ l'angolo complessivo, diviso in $theta$ e in $beta$) \[\displaystyle \alpha(c)=\arctan\left[\frac{b+h}{c}\right] \] \[\displaystyle \beta(c)=\arctan\left[\frac{b}{c}\right] \]
e notare che \(\displaystyle \theta(c)=\alpha-\beta \). A questo punto puoi derivare e trovare il valore di \(\displaystyle c \) che ti serve.
Perchè devo derivare per trovare c?
Se consideri l'angolo come funzione della distanza, allora per trovare $theta_(max)$ dovrai trovare il valore $c$ che soddisfa l'equazione \[\displaystyle \frac{\text{d}\theta(c)}{\text{d}c}=0 \] verificando che sia effettivamente un massimo.
"Weierstress":
Se consideri l'angolo come funzione della distanza, allora per trovare $theta_(max)$ dovrai trovare il valore $c$ che soddisfa l'equazione \[\displaystyle \frac{\text{d}\theta(c)}{\text{d}c}=0 \] verificando che sia effettivamente un massimo.
Ho trovato la derivata prima della sottrazione tra le due arctangenti, l'ho posta maggiore e uguale a 0 per trovare il punto di massimo che risulta essere $ sqrt(b(h+b)) $.
Possibile?
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