Esercizio massimi e minimi vincolati, funzione in due variabili
Ciao ragazzi, seguo da molto il vostro forum ed è sempre stato molto utile e mi trovo ora a scrivere il mio primo post.
Vorrei chiedervi aiuto su un esercizio come da titolo di cui la soluzione mi è chiara solo a metà.
Determinare i punti di max e di min della funzione $ f(x,y) = x^2 - y^2 + 4/5xy $ vincolati alla curva $ S= {(x,y) | 3x^2 +5y^2 - 4xy - 5 = 0 } $ Verificare che la curva $ S= 3x^2 + 5y^2 - 4xy >= x^2 + y^2 $ e dedurne che S è un sottinsieme limitato del piano.
Quello che non mi è chiaro è come sfruttare la disuguaglianza del testo e invece a livello di risultati non riesco a trovare il minimo mentre il massimo si ha per $ (x,y) = (+- 5/sqrt11 , +- 2/sqrt11) $ quindi ne deduco che salto/sbaglio qualche passaggio.
Qualcuno sarebbe così gentile da illustrarmi il procedimento passo passo in modo che io possa capire dove sbaglio?
Vi ringrazio in anticipo e spero di non essere andato contro il regolamento.
Piergiorgio
Vorrei chiedervi aiuto su un esercizio come da titolo di cui la soluzione mi è chiara solo a metà.
Determinare i punti di max e di min della funzione $ f(x,y) = x^2 - y^2 + 4/5xy $ vincolati alla curva $ S= {(x,y) | 3x^2 +5y^2 - 4xy - 5 = 0 } $ Verificare che la curva $ S= 3x^2 + 5y^2 - 4xy >= x^2 + y^2 $ e dedurne che S è un sottinsieme limitato del piano.
Quello che non mi è chiaro è come sfruttare la disuguaglianza del testo e invece a livello di risultati non riesco a trovare il minimo mentre il massimo si ha per $ (x,y) = (+- 5/sqrt11 , +- 2/sqrt11) $ quindi ne deduco che salto/sbaglio qualche passaggio.
Qualcuno sarebbe così gentile da illustrarmi il procedimento passo passo in modo che io possa capire dove sbaglio?
Vi ringrazio in anticipo e spero di non essere andato contro il regolamento.
Piergiorgio
Risposte
Niente ragazzi?
Ciao, provo a risolvere qualche tuo dubbio, nei miei limiti
Per prima cosa utilizzando il teorema di Weierstrass sai per certo che, siccome la tua funzione è limitata, essa avrà sicuramente un punto di massimo e un punto di minimo assoluto.
Ora bisogna trovare questi punti di massimo e minimo assoluto.
Quando io mi trovo ad affrontare lo studio di massimi e minimi, la prima cosa che faccio è il calcolo del gradiente $ grad $ della funzione. Esso si calcola facendo prima la derivata parziale della funzione rispetto alla variabile $ x $ e poi rispetto alla variabile $ y $. Una volta fatto ciò, scrivo un sistema ponendo il gradiente = 0 e vado a calcolare i punti critici, ovvero quei punti che annullano il gradiente della funzione. Probabilmente si trovano delle coppie di valori che poi studio per vedere se saranno punti di max, min oppure punti di sella.
Per vedere di che tipo di punti si tratta, procedo con il calcolo del determinante della matrice Hessiano così composta:
$ ( ( partial x x , partial x y ),( partial y x , partial y y ) ) $
se det H > 0 e fxx > 0, P0 è un minimo relativo
se det H > 0 e fxx < 0, P0 è un massimo relativo
se det H < 0 , P0 è un punto di sella.
Nel tuo caso, la funzione è limitata da una curva (un'ellisse) quindi bisogna studiare il comportamento della funzione proprio sul "bordo" (frontiera) della curva.
Spero di esserti stato un minimo d'aiuto.
Per prima cosa utilizzando il teorema di Weierstrass sai per certo che, siccome la tua funzione è limitata, essa avrà sicuramente un punto di massimo e un punto di minimo assoluto.
Ora bisogna trovare questi punti di massimo e minimo assoluto.
Quando io mi trovo ad affrontare lo studio di massimi e minimi, la prima cosa che faccio è il calcolo del gradiente $ grad $ della funzione. Esso si calcola facendo prima la derivata parziale della funzione rispetto alla variabile $ x $ e poi rispetto alla variabile $ y $. Una volta fatto ciò, scrivo un sistema ponendo il gradiente = 0 e vado a calcolare i punti critici, ovvero quei punti che annullano il gradiente della funzione. Probabilmente si trovano delle coppie di valori che poi studio per vedere se saranno punti di max, min oppure punti di sella.
Per vedere di che tipo di punti si tratta, procedo con il calcolo del determinante della matrice Hessiano così composta:
$ ( ( partial x x , partial x y ),( partial y x , partial y y ) ) $
se det H > 0 e fxx > 0, P0 è un minimo relativo
se det H > 0 e fxx < 0, P0 è un massimo relativo
se det H < 0 , P0 è un punto di sella.
Nel tuo caso, la funzione è limitata da una curva (un'ellisse) quindi bisogna studiare il comportamento della funzione proprio sul "bordo" (frontiera) della curva.
Spero di esserti stato un minimo d'aiuto.
No, l'hessiana non c'entra niente.
@pigiti posta il procedimento che hai seguito
@pigiti posta il procedimento che hai seguito
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