Esercizio massimi e minimi vincolati
Sia $A={(x,y)∈RR^2 : x^2 \leq y \leq x^2+7, y \leq 7}$ e B e' il segmento chiuso che congiunge (0,0) e (2,1), studiare massimi e minimi su A e B della funzione $f(x,y)=y-x^2$
Ho dimostrato che A e B sono compatti quindi per Weiestress ho la certezza che questi massimi e minimi esistano. Inoltre x varia tra -\sqrt{7} e \sqrt{7} mentre y varia tra 0 e 7.
Scompongo A negli insiemi $A_1={(x,y)∈RR^2 : x^2
Su $A_1$ che e' un insieme aperto studio semplicemente quando si annulla il gradiente, risulta mai e quindi non ho punti di massimo o minimo
Su $A_2$ considero la funzione $g(x)=7-x^2$ e studio questa funzione, considerando che su x ho la condizione che e' compreso tra $-\sqrt{7}$ e $-\sqrt{5} \sqrt{5}$ e $\sqrt{7}$. $g'(x)=-2x$ che e' sempre negativo percio' i possibili punti di massimo e minimo sono gli estremi dei valori di x
Su $A_3$ studio $f(x,x^2)=0$ non ho nulla da studiare
Su $A_4$ ho $f(x, x^2+7)=2$ e' una funzione costante e non ho nulla da studiare.
Su B uso la parametrizzazione del segmento e ho che x=2t, y=t percio' la funzione vale $t-4t^2$, studio massimi e minimi di queste e ottengo che $g'(t)=1-8t$ quindi t=1/8 ho un massimo, ma ora come lo scrivo come punto di coordinate (x,y)??
E' corretto il mio studio di massimi e minimi o c'e' qualche errore??
Ho dimostrato che A e B sono compatti quindi per Weiestress ho la certezza che questi massimi e minimi esistano. Inoltre x varia tra -\sqrt{7} e \sqrt{7} mentre y varia tra 0 e 7.
Scompongo A negli insiemi $A_1={(x,y)∈RR^2 : x^2
Su $A_1$ che e' un insieme aperto studio semplicemente quando si annulla il gradiente, risulta mai e quindi non ho punti di massimo o minimo
Su $A_2$ considero la funzione $g(x)=7-x^2$ e studio questa funzione, considerando che su x ho la condizione che e' compreso tra $-\sqrt{7}$ e $-\sqrt{5} \sqrt{5}$ e $\sqrt{7}$. $g'(x)=-2x$ che e' sempre negativo percio' i possibili punti di massimo e minimo sono gli estremi dei valori di x
Su $A_3$ studio $f(x,x^2)=0$ non ho nulla da studiare
Su $A_4$ ho $f(x, x^2+7)=2$ e' una funzione costante e non ho nulla da studiare.
Su B uso la parametrizzazione del segmento e ho che x=2t, y=t percio' la funzione vale $t-4t^2$, studio massimi e minimi di queste e ottengo che $g'(t)=1-8t$ quindi t=1/8 ho un massimo, ma ora come lo scrivo come punto di coordinate (x,y)??
E' corretto il mio studio di massimi e minimi o c'e' qualche errore??
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