Esercizio massimi e minimi relativi
Salve ho un problema con un esercizio di Analisi Matematica 3 che, non riesco a risolvere. E' questo:
Trovare i punti di massimo e minimo relativo della funzione:
f(x,y)= 4$ (x+y)^2 $ - ($x^4$ + $y^4$) - 4
Adesso, se non ho sbagliato le derivate parziali ed i calcoli, i punti critici mi risultano: (0,0), (2,2), (-2,-2)
Per determinare la loro natura mi sono determinata la matrice Hessiana, che mi risulta:
$ ( ( 8-12x^2 , 8 ),( 8 , 8-12y^2) ) $
Ecco, sostituisco ora i valori dei punti che ho trovato con x ed y. Per esempio col punto (0,0) il determinante mi esce nullo e quindi, la matrice è semidefinita (positiva in questo caso) ed il punto (0,0) può essere o di minimo relativo o ne max ne min, è giusto così o sbaglio?.. Però, non capisco come riesco a definire bene la natura del punto ovvero, se sia di minimo o nessuno dei due...
Grazie in anticipo!
Trovare i punti di massimo e minimo relativo della funzione:
f(x,y)= 4$ (x+y)^2 $ - ($x^4$ + $y^4$) - 4
Adesso, se non ho sbagliato le derivate parziali ed i calcoli, i punti critici mi risultano: (0,0), (2,2), (-2,-2)
Per determinare la loro natura mi sono determinata la matrice Hessiana, che mi risulta:
$ ( ( 8-12x^2 , 8 ),( 8 , 8-12y^2) ) $
Ecco, sostituisco ora i valori dei punti che ho trovato con x ed y. Per esempio col punto (0,0) il determinante mi esce nullo e quindi, la matrice è semidefinita (positiva in questo caso) ed il punto (0,0) può essere o di minimo relativo o ne max ne min, è giusto così o sbaglio?.. Però, non capisco come riesco a definire bene la natura del punto ovvero, se sia di minimo o nessuno dei due...
Grazie in anticipo!
Risposte
In caso di determinante nullo dell'Hessiana la matrice non da informazioni sulla natura del punto critico, quindi si ci dovrebbe "arrangiare" con considerazioni sulla funzione...ci penso un attimo
Non sono sicuro che questo ragionamento basti, ma io lo esprimo lo stesso.
Nota che
$f(0,0)=-4$
$f(0,1)=-1$
Possiamo escludere che (0,0) sia di massimo: infatti, se lo fosse, dovrebbe esistere un altro punto critico (di minimo) nel disco di raggio 1, ma non ce n'è. Escludiamo che sia di sella
$f(0,-1)=-1$
Ancora una volta, f(0,0) non può essere di sella, altrimenti esisterebbe un altro punto critico nel disco di raggio 1, ma non ce n'è. Ne segue che f(0,0) è un minimo.
P.S. Ovviamente stiamo implicitamente usando la continuità della funzione.
Nota che
$f(0,0)=-4$
$f(0,1)=-1$
Possiamo escludere che (0,0) sia di massimo: infatti, se lo fosse, dovrebbe esistere un altro punto critico (di minimo) nel disco di raggio 1, ma non ce n'è. Escludiamo che sia di sella
$f(0,-1)=-1$
Ancora una volta, f(0,0) non può essere di sella, altrimenti esisterebbe un altro punto critico nel disco di raggio 1, ma non ce n'è. Ne segue che f(0,0) è un minimo.
P.S. Ovviamente stiamo implicitamente usando la continuità della funzione.
Grazie mille per la risposta. Quindi alla fine mi dovrei 'arrangiare' come hai detto tu... Poi, ho visto altri esercizi di questo genere ed in pratica, studia poi la funzione per f(0,y), f(x,0) e con una retta generica y=ax, f(x,ax) e così, studia nei vari casi se il punto sia minimo, massimo ecc..
Insomma, annullando il gradiente ti trovi tutti i punti critici...prendi un intorno del punto critico che ti interessa sufficientemente "piccolo" da non toccare altri punti critici, e vedi cosa accade...se la funzione è continua vedi subito se è un massimo o un minimo..
Ok, grazie mille!
Meglio aspettare il parere di qualcuno piu esperto, non vorrei essermi sbagliato comunque...anche se il ragionamento sembra che fili...
"newton_1372":
Meglio aspettare il parere di qualcuno piu esperto, non vorrei essermi sbagliato comunque...anche se il ragionamento sembra che fili...
Ok, si aspetto, grazie comunque (:
Nessun altro sa qualcosa? ..
[quote=Maryse]Salve ho un problema con un esercizio di Analisi Matematica 3 che, non riesco a risolvere. E' questo:
Trovare i punti di massimo e minimo relativo della funzione:
$f(x,y)= 4(x+y)^2 - (x^4 +y^4) - 4$
[quote]
Allora il problema è vedere cosa succede intorno all'origine, vediamo che la funzione nell'origine vale $f(0;0)=-4$, se ci spostiamo di poco (le x e y sono decisamente inferiori a 1 vediamo che dobbiamo sommare $4(x+y)^2$ che sarà sempre positiva, e addizionare algebricamente $-(x^4+y^4)$ che sarà sempre negativa ora se riusciamo a dimostrare che per $x$ e $y$ minori di 1 il valore assoluto della prima è maggiore del valore assoluto della seconda abbiamo dimostrato che l'origine è un minimo, giusto?
Trovare i punti di massimo e minimo relativo della funzione:
$f(x,y)= 4(x+y)^2 - (x^4 +y^4) - 4$
[quote]
Allora il problema è vedere cosa succede intorno all'origine, vediamo che la funzione nell'origine vale $f(0;0)=-4$, se ci spostiamo di poco (le x e y sono decisamente inferiori a 1 vediamo che dobbiamo sommare $4(x+y)^2$ che sarà sempre positiva, e addizionare algebricamente $-(x^4+y^4)$ che sarà sempre negativa ora se riusciamo a dimostrare che per $x$ e $y$ minori di 1 il valore assoluto della prima è maggiore del valore assoluto della seconda abbiamo dimostrato che l'origine è un minimo, giusto?
Si, dovrebbe essere così.. quindi alla fine quando non ho un informazione esatta riguardo la natura del punto, devo arrangiarmi in questo modo?..
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