Esercizio massimi e minimi relativi
Salve, ho quest'esercizio e volevo sapere se l'ho svolto correttamente.
Trovare i punti di massimo e minimo relativi della funzione $f(x,y)=sinxsiny-cosxcosy=-cos(x+y)$
Ho trovato che il gradiente è nullo lungo tutti i punti $(x,y)$ che soddisfano l'equazione $y=-x+k pi$, al variare di $k in ZZ$.
Inoltre ho trovato che la funzione, lungo tutte queste rette, assume o il valore $1$, o il valore $-1$. Ciò tuttavia non mi permette di concludere nulla sulla natura dei punti che giacciono su quelle rette. Osserviamo però che la funzione di partenza, riscritta in modo diverso attraverso le formule di addizione del coseno, ha immagine limitata tra meno uno e uno; questo fatto mi permette di concludere che i punti che giacciono sulle rette $y=-x+k pi$ sono punti di massimo/minimo relativi. E' corretto?
Trovare i punti di massimo e minimo relativi della funzione $f(x,y)=sinxsiny-cosxcosy=-cos(x+y)$
Ho trovato che il gradiente è nullo lungo tutti i punti $(x,y)$ che soddisfano l'equazione $y=-x+k pi$, al variare di $k in ZZ$.
Inoltre ho trovato che la funzione, lungo tutte queste rette, assume o il valore $1$, o il valore $-1$. Ciò tuttavia non mi permette di concludere nulla sulla natura dei punti che giacciono su quelle rette. Osserviamo però che la funzione di partenza, riscritta in modo diverso attraverso le formule di addizione del coseno, ha immagine limitata tra meno uno e uno; questo fatto mi permette di concludere che i punti che giacciono sulle rette $y=-x+k pi$ sono punti di massimo/minimo relativi. E' corretto?
Risposte
Sì: quella funzione è una sorta di "onda" cosinusoidale in tre dimensioni, le cui creste sono i valori $\pm 1$ che si ottengono nei punti stazionari. Stai solo attento a distinguerli bene: tra i punti $y=-x+k\pi,\ k\in ZZ$, quali sono quelli di massimo? Quali quelli di minimo?
Ok perfetto! Sulla retta $x+y=2kpi$ ci sono minimi, e su $x+y=(2k+1)pi$, massimi.
Ti volevo chiedere un'altra cosa. Il mio libro usa un metodo diverso: dopo aver riscritto la funzione come $-cos(x+y)$, sostituisce a $x+y$ $t$ e studia i massimi e minimi di $-cost$; quindi poi sostituisce alla $t$ di $x+y=t$ i massimi e i minimi trovati, ottenendo le rette di prima. Domanda: perché funziona questo modo?
Grazie!
Ti volevo chiedere un'altra cosa. Il mio libro usa un metodo diverso: dopo aver riscritto la funzione come $-cos(x+y)$, sostituisce a $x+y$ $t$ e studia i massimi e minimi di $-cost$; quindi poi sostituisce alla $t$ di $x+y=t$ i massimi e i minimi trovati, ottenendo le rette di prima. Domanda: perché funziona questo modo?
Grazie!
In generale, perché stai "vincolando" il problema: quando affermi che tutti i punti per cui $x+y=t$ sono punti stazionari, stai rienunciando il problema di calcolo di massimo e minimi relativi ad un vincolo (in questo caso una retta). In generale, nei problemi di ottimo vincolati uno dei metodi possibili è quello di parametrizzare il vincolo e studiare il comportamento della funzione come se fosse una funzione di una variabile reale.
Un tipico esempio, è quello di determinare i max e min vincolati della funzione $f(x,y)$ sulla circonferenza $x^2+y^2=1$: piuttosto che usare Lagrange, puoi parametrizzare la curva come $x=\cos t,\ y=\sin t$ che sostituiti nella funzione originale portano alla nuova funzione di una variabile
$f(t)=f(\cos t,\sin t)$.
Un tipico esempio, è quello di determinare i max e min vincolati della funzione $f(x,y)$ sulla circonferenza $x^2+y^2=1$: piuttosto che usare Lagrange, puoi parametrizzare la curva come $x=\cos t,\ y=\sin t$ che sostituiti nella funzione originale portano alla nuova funzione di una variabile
$f(t)=f(\cos t,\sin t)$.
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