Esercizio massimi e minimi assoluti
Ciao a tutti!
Non riesco a risolvere un esercizio che mi chiede di calcolare l'ascissa del massimo assoluto e del minimo assoluto della funzione:
y=x^3-2x+1 nell'intervallo [-1,1]
Ho svolto l'esercizio nel seguente modo:
1)Calcolato la funzione nei punti di estremo.
Quindi: a) f(-1)=2
b) f(1)=0
2)Calcolato la derivata prima che è pari a y'=3x^2-2 e l'ho posta uguale a zero per trovare i punti critici(stazionari)
Quindi x=sqrt(2/3) e x=-(sqrt(2/3))
Sono poi andata a sostituire i valori trovati alla funzione.
Quali sono i punti di max e min assoluti? Sto sbagliando qualcosa?
Grazie
Non riesco a risolvere un esercizio che mi chiede di calcolare l'ascissa del massimo assoluto e del minimo assoluto della funzione:
y=x^3-2x+1 nell'intervallo [-1,1]
Ho svolto l'esercizio nel seguente modo:
1)Calcolato la funzione nei punti di estremo.
Quindi: a) f(-1)=2
b) f(1)=0
2)Calcolato la derivata prima che è pari a y'=3x^2-2 e l'ho posta uguale a zero per trovare i punti critici(stazionari)
Quindi x=sqrt(2/3) e x=-(sqrt(2/3))
Sono poi andata a sostituire i valori trovati alla funzione.
Quali sono i punti di max e min assoluti? Sto sbagliando qualcosa?
Grazie
Risposte
Grazie mille e scusa se non sono stata precisa nello scrivere.
I risultati riportati dal libro sono: Max per x=-sqrt(6)/3 e min per x=sqrt(6)/3
Non riesco proprio a capire da dove saltino fuori!
I risultati riportati dal libro sono: Max per x=-sqrt(6)/3 e min per x=sqrt(6)/3
Non riesco proprio a capire da dove saltino fuori!
Scusa ancora!
E grazie mille!
Ho anche un dubbio piu "teorico". Perchè si calcolano solo i punti stazionari? Non dovrebbe anche calcolarsi il segno della derivata prima per capire se si tratta di estremanti o di punti di flesso a tangente orizzontale?
Cioè anche se la derivata prima si annulla non è detto che vi sia un punto di max o min o sto facendo confusione?
E grazie mille!
Ho anche un dubbio piu "teorico". Perchè si calcolano solo i punti stazionari? Non dovrebbe anche calcolarsi il segno della derivata prima per capire se si tratta di estremanti o di punti di flesso a tangente orizzontale?
Cioè anche se la derivata prima si annulla non è detto che vi sia un punto di max o min o sto facendo confusione?
Dire che stai facendo confusione è poco...non hai praticamente capito cos'è un massimo o minimo di una funzione in un intervallo e la differenza con massimi e minimi relativi.
Potresti illuminarmi?
Sono cose che dovresti ben sapere...
Sicuramente sto facendo confusione.
Considero max/min assoluti come una sorta di sottoinsieme dei punti di estremo locale.
(Per questo mi chiedo perche non si verifica, calcolando il segno della derivata prima, se i punti critici sono max e min relativi).
Confronterei poi i riusltati trovati con eventuali punti di non derivabilità e i punti di estremo dell'intervallo.
Non capisco dove sbaglio..
Considero max/min assoluti come una sorta di sottoinsieme dei punti di estremo locale.
(Per questo mi chiedo perche non si verifica, calcolando il segno della derivata prima, se i punti critici sono max e min relativi).
Confronterei poi i riusltati trovati con eventuali punti di non derivabilità e i punti di estremo dell'intervallo.
Non capisco dove sbaglio..
Non si considera niente, i massimi e minimi assoluti (anche detti solo massimi e minimi, quando si parla di massimi e minimi si parla di quelli "assoluti") hanno una loro definizione, che è pure intuitiva, e NON hanno niente a che fare con quelli "relativi", sono due cose del tutto diverse, due mondi a parte, cose che non c'entrano niente l'uno con l'altra, nessuno è sottoinsieme dell'altro.
Perché appunto non ce ne frega niente.
E' lo stesso errore che TUTTI commettono nel cercare i massimi e minimi (assoluti) in due variabili su un dominio chiuso, calcolano i punti in cui la derivata si annulla e poi vedono se sono massimi/mini relativi o punti di sella, non avendo capito che non serve a niente.
Questa è l'unica cosa giusta che hai detto, confronti i punti "critici" in cui la derivata vale zero con i punti di non derivabilità e i punti estremi dell'intervallo.
Per questo mi chiedo perche non si verifica, calcolando il segno della derivata prima, se i punti critici sono max e min relativi
Perché appunto non ce ne frega niente.
E' lo stesso errore che TUTTI commettono nel cercare i massimi e minimi (assoluti) in due variabili su un dominio chiuso, calcolano i punti in cui la derivata si annulla e poi vedono se sono massimi/mini relativi o punti di sella, non avendo capito che non serve a niente.
Confronterei poi i riusltati trovati con eventuali punti di non derivabilità e i punti di estremo dell'intervallo
Questa è l'unica cosa giusta che hai detto, confronti i punti "critici" in cui la derivata vale zero con i punti di non derivabilità e i punti estremi dell'intervallo.
Quindi non è vero che i min/max asoluti sono anche min/max relativi(mentre non vale il viceversa)?
Quindi non è vero che i punti di max/min assoluti sono anche punti di min/max relativo (mentre non vale il viceversa)?
"Vulplasir":
Non si considera niente, i massimi e minimi assoluti (anche detti solo massimi e minimi, quando si parla di massimi e minimi si parla di quelli "assoluti") hanno una loro definizione, che è pure intuitiva, e NON hanno niente a che fare con quelli "relativi", sono due cose del tutto diverse, due mondi a parte, cose che non c'entrano niente l'uno con l'altra, nessuno è sottoinsieme dell'altro.
...
Vulplasir, se ne sei capace mi dimostri questo banale teorema?
Teorema
Sia $A$ uno spazio topologico QUALSIASI. Sia $f:A -> RR$ una funzione QUALSIASI.
Sia $x_0 \in A$ un punto di massimo globale per $f$ su $A$.
Allora $x_0$ è anche un punto di massimo locale per $f$ su $A$, qualunque sia la topologia su $A$
Corollario
Nelle stesse condizioni del teorema, l'insieme dei punti di massimo globale per $f$ è un SOTTOINSIEME dell'insieme dei punti di massimo locale per $f$
NB: globale=assoluto, locale=relativo
NB: identici risultati valgono per i punti di minimo
PS:
Matilda^, capisco la tua preoccupazione
Si certo i punti di estremo globale lo sono anche di estremo locale, ma non è importante ai fini della questione, che è più che altro capire perché non serve a niente verificare prima se i punti a derivata nulla siano massimi/minimi/flessi, così come è inutile studiare l'hessiana dei punti critic.
"Vulplasir":
Si certo i punti di estremo globale lo sono anche di estremo locale, ma non è importante ai fini della questione, che è più che altro capire perché non serve a niente verificare prima se i punti a derivata nulla siano massimi/minimi/flessi, così come è inutile studiare l'hessiana dei punti critic.
Mi sembri uno di quelli beccati a scrivere una bufala su facebook
Non mi pare la fine del mondo
Sono ancora più confusa di prima!
Grazie comunque per la disponibilità.
Grazie comunque per la disponibilità.
Ma che c'è da essere confusi, essere un massimo o minimo significa essere il piu grande o piu piccolo valore. Se noi prendiamo i punti candidati a esserlo, valutiamo la funzione in questi punti, e prendiamo il piu grande e il piu piccolo, ecco che abbiamo trovato massimo e minimo, non c'è molta filosofia dietro...
La mia domanda era un'altra.
Ti chiedo allora: quali sono i punti candidati? Tra cosa vanno individuati?
Ti chiedo allora: quali sono i punti candidati? Tra cosa vanno individuati?
Tra quelli che ti ho scritto prima, se la funzione data è continua in un intervallo chiuso e limitato, tra i punti di non derivabilità, i punti all'estremo dell'intervallo e i punti in cui si annulla la derivata (e per quanto detto prima, non ci importa se questi punti in cui la derivata si annulla sono massimi/minimi relativi o flessi, la questione del fatto che i massimi e minimi assoluti siano anche relativi qui non ha nessuna importanza)
Ti ringrazio per la tua gentilezza e disponibilità
Ho fatto il liceo parecchi anni fa e ho molti dubbi che da sola non riesco a colmare purtroppo.
Spero tu abbia capito il mio ragionamento
Avrei trovato max/min relativi e avrei confrontato con punti di non derivabilità e estremi intervallo per trovare valore max e min globale!
Questo perché penso (sicuramente sbagliando) al teorema di Fermat (l'annullarsi della derivata prima non è condizione sufficiente per max e min locali)e al fatto che un max/min assoluto sia anche estremo locale.
Se mi fermo ai punti critici invece non posso sapere se sono massimi, minimi oppure punti di flesso a tg orizzontale.
Non so se mi sono spiegata
E invece devo fermarmi a considerare solo punti critici senza studio del segno!
Ho fatto il liceo parecchi anni fa e ho molti dubbi che da sola non riesco a colmare purtroppo.
Spero tu abbia capito il mio ragionamento
Avrei trovato max/min relativi e avrei confrontato con punti di non derivabilità e estremi intervallo per trovare valore max e min globale!
Questo perché penso (sicuramente sbagliando) al teorema di Fermat (l'annullarsi della derivata prima non è condizione sufficiente per max e min locali)e al fatto che un max/min assoluto sia anche estremo locale.
Se mi fermo ai punti critici invece non posso sapere se sono massimi, minimi oppure punti di flesso a tg orizzontale.
Non so se mi sono spiegata
E invece devo fermarmi a considerare solo punti critici senza studio del segno!
E invece devo fermarmi a considerare solo punti critici senza studio del segno!
Esatto. Se trovi un punto critico in $x_0$ e ti metti lì a vedere se è massimo o minimo relativo facendo la derivata seconda o studiando il segno della derivata prima (che può anche non essere banale), e trovi che quel punto è un massimo relativo per esempio...a cosa ti serve questa informazione a livello globale? A niente, a te interessa solo il valore della funzione in quel punto, se per caso il valore della funzione a un estremo dell'intervallo fosse maggiore del valore della funzione in quel $x_0$, tutto il procedimento che hai fatto per vedere se era un massimo o minimo relativo/locale è stato del tutto inutile, infatti ti basta solo sapere il valore della funzione.
Non è sbagliato controllare se i punti critici siano massimo/minimi relativi o flessi, ma è inutile...se lo fai è perché non hai capito bene cosa stai cercando di trovare.
Credo di aver finalmente capito
Quando si ha un punto stazionario, quindi con derivata prima nulla, si possono avere 3 casi: massimi, minimi oppure flesso a tg orizzontale (solo questi 3, giusto?!) che si identificano studiando il segno della derivata prima
In questo caso tale studio non è necessario: Max e min relativi potrebbero essere assoluti e lo si stabilirà con il confronto con gli altri punti (non derivabilità e estremi dell'intervallo) mentre nel caso del punto di flesso a tg orizzontale sicuramente non sarà punto di max/min assoluto e quindi si escluderà automaticamente. Ecco perchè ci si limita a ricercare i punti critici senza indagare sulla loro natura!
Spero sia un ragionamento finalmente corretto
Grazie ancora
Quando si ha un punto stazionario, quindi con derivata prima nulla, si possono avere 3 casi: massimi, minimi oppure flesso a tg orizzontale (solo questi 3, giusto?!) che si identificano studiando il segno della derivata prima
In questo caso tale studio non è necessario: Max e min relativi potrebbero essere assoluti e lo si stabilirà con il confronto con gli altri punti (non derivabilità e estremi dell'intervallo) mentre nel caso del punto di flesso a tg orizzontale sicuramente non sarà punto di max/min assoluto e quindi si escluderà automaticamente. Ecco perchè ci si limita a ricercare i punti critici senza indagare sulla loro natura!
Spero sia un ragionamento finalmente corretto
Grazie ancora
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