Esercizio massimi e minimi
Buongiorno a tutti! Sto preparando analisi 2 e ho bisogno di un aiuto per un esercizio sui massimi e i minimi:
Sia $ A= { (x,y,z) in RR^(3): x^(2)+yx+y^(2)+z^(2)<=1 } $ e $ f:A->RR $, $ f(x,y,z)=xyz $
Determinare $ f(A) $.
Io ho provato a fare così:
$A$ è compatto e connesso, quindi $ f(A) $ sarà un'intervallo del tipo $ [minf, maxf].$
Ho provato poi a cercare i punti di massimo e minimo all'interno di $A$ annullando il gradiente di $f$, ma ottengo solamente dei punti di sella. Ho considerato poi la frontiera di $A$ e utilizzato il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, ma mi vengono calcoli un po' strani e non riesco a concludere niente.. ho una gran confusione in testa anche su quale metodo utilizzare, qualcuno mi può aiutare? grazie mille in anticipo!
Sia $ A= { (x,y,z) in RR^(3): x^(2)+yx+y^(2)+z^(2)<=1 } $ e $ f:A->RR $, $ f(x,y,z)=xyz $
Determinare $ f(A) $.
Io ho provato a fare così:
$A$ è compatto e connesso, quindi $ f(A) $ sarà un'intervallo del tipo $ [minf, maxf].$
Ho provato poi a cercare i punti di massimo e minimo all'interno di $A$ annullando il gradiente di $f$, ma ottengo solamente dei punti di sella. Ho considerato poi la frontiera di $A$ e utilizzato il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, ma mi vengono calcoli un po' strani e non riesco a concludere niente.. ho una gran confusione in testa anche su quale metodo utilizzare, qualcuno mi può aiutare? grazie mille in anticipo!
Risposte
Perchè non ci fai vedere i tuoi calcoli anche se ti sembrano strani, così che qualcuno ti può dire cosa c'è che non va ?
ok allora nell'interno di $A$:
$(df)/dx=yz$ $$ $(df)/dy=xz$ $$ $(df)/dz=xy$
Gli unici punti in cui si annulla il gradiente di $f$ sono: $(0,0,0), (x,0,0), (0,y,0), (0,0,z)$ con $-1
Nella frontiera di $A$:
Poniamo $F:RR^(3)->RR$, $F(x,y,z)= xyz -lambda\(x^(2)+xy+y^(2)+z^(2)-1)$
$(dF)/dx= yz-2lambda\x-lambda\y$
$(dF)/dy=xz-2lambda\y-lambda\x$
$(dF)/dz=xy-2lambda\z$
Pongo il gradiente di $F$ uguale a $0$:
$yz-2lambda\x-lambda\y=0$
$xz-2lambda\y-lambda\x=0$
$xy-2lambda\z=0$
$x^(2)+xy+y^(2)+z^(2)-1=0$
Eguagliando le prime 2 equazioni ottengo: $(y-x)(z+lambda\)=0$
Allora o $y=x$ o $z=-lambda\$
Nel primo caso il sistema di equazioni diventa:
$xz-3lambda\x=0$
$x^(2)-2lambda\z=0$
$3x^(2)+z^(2)=1$
e risolvendolo si ottiene $lambda\=\pmsqrt(1/27)$, $x=y=\pmsqrt(2/9), z=\pmsqrt(1/3)$.
Mentre nel caso in cui $z=-lambda\$ ad un certo punto dei calcoli ottengo $-x^(2)=2(lambda\)^(2)$ e quindi impossibile.
Per cui dovrebbe essere $f(A)= [-2/(9sqrt(3)), 2/(9sqrt(3) ] $
Ma non sono molto sicura di tutto il procedimento.. Ho sbagliato da qualche parte?
$(df)/dx=yz$ $$ $(df)/dy=xz$ $$ $(df)/dz=xy$
Gli unici punti in cui si annulla il gradiente di $f$ sono: $(0,0,0), (x,0,0), (0,y,0), (0,0,z)$ con $-1
Nella frontiera di $A$:
Poniamo $F:RR^(3)->RR$, $F(x,y,z)= xyz -lambda\(x^(2)+xy+y^(2)+z^(2)-1)$
$(dF)/dx= yz-2lambda\x-lambda\y$
$(dF)/dy=xz-2lambda\y-lambda\x$
$(dF)/dz=xy-2lambda\z$
Pongo il gradiente di $F$ uguale a $0$:
$yz-2lambda\x-lambda\y=0$
$xz-2lambda\y-lambda\x=0$
$xy-2lambda\z=0$
$x^(2)+xy+y^(2)+z^(2)-1=0$
Eguagliando le prime 2 equazioni ottengo: $(y-x)(z+lambda\)=0$
Allora o $y=x$ o $z=-lambda\$
Nel primo caso il sistema di equazioni diventa:
$xz-3lambda\x=0$
$x^(2)-2lambda\z=0$
$3x^(2)+z^(2)=1$
e risolvendolo si ottiene $lambda\=\pmsqrt(1/27)$, $x=y=\pmsqrt(2/9), z=\pmsqrt(1/3)$.
Mentre nel caso in cui $z=-lambda\$ ad un certo punto dei calcoli ottengo $-x^(2)=2(lambda\)^(2)$ e quindi impossibile.
Per cui dovrebbe essere $f(A)= [-2/(9sqrt(3)), 2/(9sqrt(3) ] $
Ma non sono molto sicura di tutto il procedimento.. Ho sbagliato da qualche parte?
A me sembra che vada bene.
Domanda finale: quanti sono in tutto i punti di massimo e minimo ? (punti in cui f(x) assume il massimo/minimo)
Domanda finale: quanti sono in tutto i punti di massimo e minimo ? (punti in cui f(x) assume il massimo/minimo)
direi che ci sono 4 punti di massimo e 4 punti di minimo
Okey !
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo