Esercizio massimi e minimi
Salve, volevo sapere se quest'esercizio è svolto correttamente. Ho la funzione $-x^3+x^2+y^2-xy^2+4x-4$. Il punto $(1,sqrt(3))$ è critico per f. Il determinante hessiano valutato in questo punto è nullo, e quindi devo trovare un altro modo per stabilire la natura del punto. Ho considerato allora l'equazione del fascio di rette passanti per questo punto, di equazione $y=m(x-1)+sqrt(3)$, con m che varia in $RR$. Ho quindi ristretto la funzione a tale fascio di rette, ottenendo, dopo noiosissimi e lunghissimi conti, $f(x, m(x-1)+sqrt(3))=-x^3+x^2+3m^2x^2+m^2-3m^2x+x-1+4mxsqrt(3)-2msqrt(3)-2x^2msqrt(3)-m^2x^3=a(x)$
La derivata prima rispetto a x viene:
$a'(x)=-3x^2+2x+6m^2x-3m^2+1+4msqrt(3)-4mxsqrt(3)-3m^2x^2$. La derivata prima calcolata in $1$ viene zero per ogni $m in RR$. Qualora ci fosse stato un $m$ per cui la derivata prima calcolata in $1$ era diversa da zero, allora avrei potuto concludere subito che il punto iniziale $(1,sqrt(3))$ era di sella per f, vero? A questo punto faccio il cosiddetto test della derivata seconda, ottenento: $a''(x)=-6x+2+6m^2-4msqrt(3)-6m^2x$, che valutata in $1$ fa $-4-4msqrt(3)$. Quest'ultima quantità, per m=0 è negativa, e dunque ciò significa che la funzione ristretta alla retta $y=sqrt(3)$ ha MASSIMO in 1. Per m=-1, $-4-4msqrt(3)$ è positiva, e dunque la funzione ristretta alla retta $y=-(x-1)+sqrt(3)$ ha MINIMO in 1. Dunque posso concludere che il punto dato è di sella. E' giusto? Ci sono altri modi più veloci?
Grazie!
La derivata prima rispetto a x viene:
$a'(x)=-3x^2+2x+6m^2x-3m^2+1+4msqrt(3)-4mxsqrt(3)-3m^2x^2$. La derivata prima calcolata in $1$ viene zero per ogni $m in RR$. Qualora ci fosse stato un $m$ per cui la derivata prima calcolata in $1$ era diversa da zero, allora avrei potuto concludere subito che il punto iniziale $(1,sqrt(3))$ era di sella per f, vero? A questo punto faccio il cosiddetto test della derivata seconda, ottenento: $a''(x)=-6x+2+6m^2-4msqrt(3)-6m^2x$, che valutata in $1$ fa $-4-4msqrt(3)$. Quest'ultima quantità, per m=0 è negativa, e dunque ciò significa che la funzione ristretta alla retta $y=sqrt(3)$ ha MASSIMO in 1. Per m=-1, $-4-4msqrt(3)$ è positiva, e dunque la funzione ristretta alla retta $y=-(x-1)+sqrt(3)$ ha MINIMO in 1. Dunque posso concludere che il punto dato è di sella. E' giusto? Ci sono altri modi più veloci?
Grazie!
Risposte
Ciao, non so per quale motivo ho detto che l'hessiano era nullo in quel punto!
Grazie!
In ogni caso, la dimostrazione alternativa che ho fornito sul fatto che quel punto è di sella, è giusta oppure ci sono errori nel ragionamento?
Grazie!
In ogni caso, la dimostrazione alternativa che ho fornito sul fatto che quel punto è di sella, è giusta oppure ci sono errori nel ragionamento?
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