Esercizio Limiti con uso di Limiti Notevoli

[Biagio2580]

Prima Parte:
$ lim_(x -> 0) 1/(tanx/x*x)*log(1-1+(1+sin^2 3x)/(1-x)) =\lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\tan x}{x} \cdot x}\log\left(1+\frac{x+\sin^2 (3x)}{1-x}\right)$

Seconda Parte: $ lim_(x -> 0) 1/((tanx/x)*x)*(log(1+((x+sin^2 3x)/(1-x)))/((x+sin^2 3x)/(1-x)))*[(x/(1-x))+(sin^2 3x)/(9x^2)*((9x^2)/(1-x))]$
$=lim_(x -> 0) 1/(tanx/x)*(log(1+((x+sin^2 3x)/(1-x)))/((x+sin^2 3x)/(1-x)))*[(1/(1-x))+(sin^2 3x)/(9x^2)*((9x)/(1-x))] $



Chiedo scusa intanto ai moderatori per l'immagine.
Sto svolgendo questo esercizio di Analisi , tengo a precisare che il nostro professore vuole che venga risolto con i limiti notevoli . Ho due passaggi che non capisco nello svolgimento:
1)Una volta che moltiplico per 1 e -1 dentro le parentesi tonde, come fa un 1 a sparire e a far diventare l'1 che sta nella frazione (a numeratore) una x?
2)Vorrei capire che passaggi vengono effettuati nelle parentesi quadre.
Grazie a tutti in anticipo.

[Mephlip]

(1): Non moltiplica e divide, aggiunge e sottrae. Ha poi fatto il minimo comune multiplo solamente tra il secondo e terzo addendo dei tre addendi.

(2) Ha raccolto a fattor comune una $x$.

[xdom="Mephlip"]Capisco che copiare svolgimenti interi prenda tempo, ma l'aiuto offerto sul forum ti permette di risparmiare molto del tempo che impiegheresti nel cercare di capire i passaggi da solo. Cortesemente, trova il tempo di modificare il messaggio nei prossimi giorni; altrimenti, la prossima volta chiudo il messaggio immediatamente. Un modo per ridurre il tempo di copiatura potrebbe essere quello di fare domande mirate solamente sui passaggi necessari, senza copiare quindi tutto lo svolgimento; se deciderai di fare così, cerca di non omettere il contesto e possibilmente copia comunque almeno il testo dell'esercizio (senza svolgimento) per non generare confusione agli utenti che cercheranno di aiutarti.[/xdom]

[Biagio2580]

Si sul fatto di moltiplicare mi sono sbagliato a scrivere io , chiedo scusa , stessa cosa per quanto riguarda l'immagine. Grazie comunque!!

[pilloeffe]

Ciao Biagio2580,

Io avrei risolto il limite originario più semplicemente usando il limite fondamentale

$\lim_{f(x) \to +\infty} (1 + 1/(f(x)))^{f(x)} = e $:

$\lim_{x \to 0} ((1+sin^2 3x)/(1-x))^{1/tan x} = \lim_{x \to 0} ((1 - x + x+sin^2 3x)/(1-x))^{1/tan x} = $

$ = \lim_{x \to 0} (1 + 1/((1-x)/(x+sin^2 3x)))^{1/tan x} = \lim_{x \to 0} [(1 + 1/((1-x)/(x+sin^2 3x)))^{(1-x)/(x+sin^2 3x)}]^{(x +sin^2 3x)/((1 - x)tan x)} = e^1 = e $

[Mephlip]

@Biagio2580: Grazie per aver modificato il messaggio, apprezzo molto. Mi sono permesso di modificarlo nuovamente perché non era presente un'uguaglianza; altrimenti, sarebbe incomprensibile per chi in futuro passasse di qui (che poi è lo stesso concetto del caricare immagini che in seguito scompaiono). Spero di non aver fatto errori, casomai ricontrolla che fosse proprio così.