Esercizio limiti
Ciao a tutti ho un bel problema con i limiti. Io so alcune regole ma una volta che svolgo un limite arrivo in un punto cieco e non riesco ad andare avanti. Ora posterò 5 esercizi di cui arrivato ad un certo punto non sono riuscito ad andare più avanti......ringranzio anticipatamente
1) $lim_(x-> 0) (1-cos sqrt(|x^3-x^2|))/(3^(ln(1+x^2)) - 1)$
2) $lim_(x-> +) ((5x^2)/(5x^2+10x+2))^((x^2)/(lnx)$ tende a + infinito
3) $lim_(x-> +) (sqrt(x^2-x))/e^(x-1) * sen(x-1)$ tende a + infinito
4) $lim_(x-> +) (3^x-x3^x)/(2^x+x^2) $ tende a + infinito
5) $lim_(x-> 2) (sen[x(x-2)^2])/(e^(x^2-4) - 1) * sen(1/(x-2)^2)
ps. scusate se sono troppi esercizi......
1) $lim_(x-> 0) (1-cos sqrt(|x^3-x^2|))/(3^(ln(1+x^2)) - 1)$
2) $lim_(x-> +) ((5x^2)/(5x^2+10x+2))^((x^2)/(lnx)$ tende a + infinito
3) $lim_(x-> +) (sqrt(x^2-x))/e^(x-1) * sen(x-1)$ tende a + infinito
4) $lim_(x-> +) (3^x-x3^x)/(2^x+x^2) $ tende a + infinito
5) $lim_(x-> 2) (sen[x(x-2)^2])/(e^(x^2-4) - 1) * sen(1/(x-2)^2)
ps. scusate se sono troppi esercizi......
Risposte
1) Ricorri agli asintotici: $1-cos x$ con x->0 è asintotico a $-1/2x^2$ quindi al numeratore...
Per il denominatore ricorri ancora agli asintotici: $3^ln(1-x^2) -1$ + asintotico a $3(1-x^2)$...
Negli altri, in cui la x tende a infinito, puoi usare criteri del confronto di infiniti ad es nel 4:
il limite in base alla gerarchia di infiniti si riduce a $(3^x(1-x))/2^x$ quindi $3^x/2^x$...
Se non riesci a risolvere gli altri, dimmi che te li scrivo..
Per il denominatore ricorri ancora agli asintotici: $3^ln(1-x^2) -1$ + asintotico a $3(1-x^2)$...
Negli altri, in cui la x tende a infinito, puoi usare criteri del confronto di infiniti ad es nel 4:
il limite in base alla gerarchia di infiniti si riduce a $(3^x(1-x))/2^x$ quindi $3^x/2^x$...
Se non riesci a risolvere gli altri, dimmi che te li scrivo..
il primo ho fatto cosi
$lim_(x-> 0) (1-cos sqrt(|x^3-x^2|))/(3^(ln(1+x^2)) - 1)$ ricordando i limiti notevoli si ha
$lim_(x-> 0) (1-cos sqrt(|x^3-x^2|))/(|x^3-x^2|) * (ln(1+x^2))/(3^(ln(1+x^2)) - 1) *(|x^3-x^2|)/ln(1+x^2)$
la prima espressione tende a $1/2$ l'altra tende $1/(ln 3)$ e si ha
$1/2 * 1/ln (3) * lim_(x-> 0) (|x^3-x^2|)/ln(1+x^2)$
poi nn riesco ad andare avanti.........
$lim_(x-> 0) (1-cos sqrt(|x^3-x^2|))/(3^(ln(1+x^2)) - 1)$ ricordando i limiti notevoli si ha
$lim_(x-> 0) (1-cos sqrt(|x^3-x^2|))/(|x^3-x^2|) * (ln(1+x^2))/(3^(ln(1+x^2)) - 1) *(|x^3-x^2|)/ln(1+x^2)$
la prima espressione tende a $1/2$ l'altra tende $1/(ln 3)$ e si ha
$1/2 * 1/ln (3) * lim_(x-> 0) (|x^3-x^2|)/ln(1+x^2)$
poi nn riesco ad andare avanti.........
purtroppo posso utilizzare soltanto i limiti notevoli, il fatto tra confronto tra infinitesimi e infiniti e eventualmente se è necessario de l'hopital
quello che mi hai detto tu non posso utilizzarlo........
quello che mi hai detto tu non posso utilizzarlo........
oh scusate mi ero dimenticato questo
$1/2 * 1/ln (3) * lim_(x-> 0) (|x^3-x^2|)/(x^2) * (x^2)/(ln(1+x^2))$
dove il moltiplicatore ( la seconda espressione) vale $1$
$1/2 * 1/ln (3) * 1 * lim_(x-> 0) (|x^3-x^2|)/(x^2)
qui io mi sono fermato
$1/2 * 1/ln (3) * lim_(x-> 0) (|x^3-x^2|)/(x^2) * (x^2)/(ln(1+x^2))$
dove il moltiplicatore ( la seconda espressione) vale $1$
$1/2 * 1/ln (3) * 1 * lim_(x-> 0) (|x^3-x^2|)/(x^2)
qui io mi sono fermato
metti in evidenza $x^2$ nell'espressione con il modulo. un quadrato non è mai negativo, lo puoi portar fuori dal modulo, e dunque rimane:
$(x^2)/(x^2)*|x-1|*(x^2)/(ln(1+x^2))$. così è un prodotto di tre fattori che tendono tutti a 1 (il terzo è un limite notevole), quindi il risultato finale è
$1/(2ln(3))$
$(x^2)/(x^2)*|x-1|*(x^2)/(ln(1+x^2))$. così è un prodotto di tre fattori che tendono tutti a 1 (il terzo è un limite notevole), quindi il risultato finale è
$1/(2ln(3))$
grazie ada ho sempre difficoltà con il valore assoluto.......
per quanto riguarda il secondo bisogna applicare de l'hopital?
oppure si può ricondurre al limite notevole $lim_(x-> +) (1+1/x)^x = e$?
io ci ho provato in tutti i modi ma non ci sono riuscito........
per quanto riguarda il secondo bisogna applicare de l'hopital?
oppure si può ricondurre al limite notevole $lim_(x-> +) (1+1/x)^x = e$?
io ci ho provato in tutti i modi ma non ci sono riuscito........
per quanto riguarda all'ultimo devo imporre y=x-2?
mamma mia ho un enorme confusione per la testa
mamma mia ho un enorme confusione per la testa
Il secondo ti devi ricondurre al limite notevole che hai citato, ricordando che puoi vedere $(5x^2)/(5x^2 +10x +2)$ come $1 + (-10x -2)/(5x^2 +10x +2)$ e moltiplicando e dividendo l'esponente per $(-10x -2)/(5x^2 +10x +2)$.
si avevo pensato anche io a questa cosa ma se
$lim_(x->+ )(1 + (-10x -2)/(5x^2 +10x +2))^((x^2)/(ln x))$
il limite notevole è
$lim_(x->+ )(1 + 1/x)^x=e
il mio dubbio è questo ma al numeratore di $(-10x -2)/(5x^2 +10x +2)$ non dovrebbe esserci 1?
oppure semplicemente applicando la formula inversa cioè $lim_(x->+ )(1 + x)^(1/x)=e?
$lim_(x->+ )(1 + (-10x -2)/(5x^2 +10x +2))^((x^2)/(ln x))$
il limite notevole è
$lim_(x->+ )(1 + 1/x)^x=e
il mio dubbio è questo ma al numeratore di $(-10x -2)/(5x^2 +10x +2)$ non dovrebbe esserci 1?
oppure semplicemente applicando la formula inversa cioè $lim_(x->+ )(1 + x)^(1/x)=e?
Puoi considerare il limite notevole: se $f(x) rarr 0$, $(1 + f(x))^(1/(f(x))) = e$ con, nel tuo caso, $f(x) = (-10x -2)/(5x^2 +10x +2)$
giusto siccome per adesso non posso lo calcolo dopo.....intanto mi puoi fare un favore puoi vedere gli altri esercizi......grazie mille
3) $(sqrt(x^2-x)/(e^(x-1)))*sen(x-1)=(e*|x|*sqrt(1-1/x)*sen(x-1))/(e^x)$
4) $(3^x(1-x))/(2^x+x^2)=(3/2)^x*(1-x)/(1+(x^2)/(2^x))$
prova e facci sapere. ciao.
5) $(x(x-2)^2)/(e^(x^2-4)-1)*(sin(x(x-2)^2))/(x(x-2)^2)*sin(1/(x-2)^2)$
4) $(3^x(1-x))/(2^x+x^2)=(3/2)^x*(1-x)/(1+(x^2)/(2^x))$
prova e facci sapere. ciao.
5) $(x(x-2)^2)/(e^(x^2-4)-1)*(sin(x(x-2)^2))/(x(x-2)^2)*sin(1/(x-2)^2)$
ora provo a farli entrambi ma ada c'è un errore all' esercizo 3 non è $e^x - 1$ ma $e^(x-1)$
magari fosse come hai detto tu
comunque non mi scoraggio ce la devo fare 
magari fosse come hai detto tu
comunque non mi scoraggio ce la devo fare
ho sbagliato a scrivere, nel senso che non ho messo le parentesi all'esponente, però l'ho considerato scritto giusto, tant'è vero che ho portato $e^(-1)$ al numeratore...
si hai ragione ada non mi ero accorto scusami
non ti preoccupare. modifico ed aggiungo un'idea per il quinto.
allora ho risolto l'esercizio n.1 n.2 il numero tre non so che cosa fare nonostante ada mi abbia dato un input.....
1) $lim_(x->0) (1-cossqrt(|x^3-x^2))/(3^(ln(1+x^2)) -1$
$lim_(x->0) (1-cossqrt(|x^3-x^2|))/|x^3-x^2|*ln(1+x^2)/(3^(ln(1+x^2)) - 1)*(|x^3-x^2|)/(ln(1+x^2))$
$1/2 * 1/ln(3) * lim_(x->0) (ln(1+x^2))/(x^2) * (|x^3-x^2|)/(x^2)$
$1/2 * 1/ln(3) * 1 * lim_(x->0) x^2* |x-1|/x^2
semplifico e alla fine ottengo che $lim_(x->0) |x-1| =1$ quindi in definitiva il risultato finale è $1/(2ln(3))$
2) $lim_(x-> +) ((5x^2)/(5x^2+10x+2))^((x^2)/(lnx)$ tende a + infinito
$lim_(x-> +) (1+(-10x-2)/(5x^2+10x+2))^((x^2)/(lnx)$
$lim_(x-> +) (1+(-10x-2)/(5x^2+10x+2))^((5x^2+10x+2)/(-10x-2) * (-10x-2)/(5x^2+10x+2)*(x^2)/(lnx)$
$lim_(x-> +) (1+(-10x-2)/(5x^2+10x+2))^((5x^2+10x+2)/(-10x-2)) = e$
consideriamo adesso il limite
$lim_(x-> +) (-10x-2)/(5x^2+10x+2)*(x^2)/(lnx)$
$lim_(x-> +) (x(-10x-2))/(5x^2+10x+2)*(x)/(lnx)$
$lim_(x-> +) (x^2(-10-2/x^2))/(x^2(5+10/x+2/(x^2)))*(x)/(lnx)$
il limite $lim_(x-> +) ((-10-2/x^2))/((5+10/x+2/(x^2)))= -2$
metre il limite $lim_(x-> +) (x)/(lnx) =$ +inf
quindi in definitiva il limite vale $e^-8=0$ 8=infinito
1) $lim_(x->0) (1-cossqrt(|x^3-x^2))/(3^(ln(1+x^2)) -1$
$lim_(x->0) (1-cossqrt(|x^3-x^2|))/|x^3-x^2|*ln(1+x^2)/(3^(ln(1+x^2)) - 1)*(|x^3-x^2|)/(ln(1+x^2))$
$1/2 * 1/ln(3) * lim_(x->0) (ln(1+x^2))/(x^2) * (|x^3-x^2|)/(x^2)$
$1/2 * 1/ln(3) * 1 * lim_(x->0) x^2* |x-1|/x^2
semplifico e alla fine ottengo che $lim_(x->0) |x-1| =1$ quindi in definitiva il risultato finale è $1/(2ln(3))$
2) $lim_(x-> +) ((5x^2)/(5x^2+10x+2))^((x^2)/(lnx)$ tende a + infinito
$lim_(x-> +) (1+(-10x-2)/(5x^2+10x+2))^((x^2)/(lnx)$
$lim_(x-> +) (1+(-10x-2)/(5x^2+10x+2))^((5x^2+10x+2)/(-10x-2) * (-10x-2)/(5x^2+10x+2)*(x^2)/(lnx)$
$lim_(x-> +) (1+(-10x-2)/(5x^2+10x+2))^((5x^2+10x+2)/(-10x-2)) = e$
consideriamo adesso il limite
$lim_(x-> +) (-10x-2)/(5x^2+10x+2)*(x^2)/(lnx)$
$lim_(x-> +) (x(-10x-2))/(5x^2+10x+2)*(x)/(lnx)$
$lim_(x-> +) (x^2(-10-2/x^2))/(x^2(5+10/x+2/(x^2)))*(x)/(lnx)$
il limite $lim_(x-> +) ((-10-2/x^2))/((5+10/x+2/(x^2)))= -2$
metre il limite $lim_(x-> +) (x)/(lnx) =$ +inf
quindi in definitiva il limite vale $e^-8=0$ 8=infinito
ho finito adesso il numero 4
4) $lim_(x-> +oo) (3^x-x3^x)/(2^x+x^2) $ tende a + infinito
$lim_(x-> +oo) (3/2)^x* (1-x)/(1+x^2/e^x) $
$lim_(x-> +oo) (3/2)^x=+oo$
$lim_(x-> +oo) (1-x)/(1+x^2/e^x) $
$lim_(x-> +oo) (x(-1+1/x))/(1+x^2/e^x) $
$lim_(x-> +oo) x^2/e^x =0$ perchè $e^x$ è di ordine superiore rispetto a $x^2$
$lim_(x-> +oo) * (x(-1+1/x))/(1+x^2/e^x) =-oo$
quindi il limite $lim_(x-> +oo) (3/2)^x* (x(-1+1/x))/(1+x^2/e^x)=-oo
ps vedete se ho fatto giusto
4) $lim_(x-> +oo) (3^x-x3^x)/(2^x+x^2) $ tende a + infinito
$lim_(x-> +oo) (3/2)^x* (1-x)/(1+x^2/e^x) $
$lim_(x-> +oo) (3/2)^x=+oo$
$lim_(x-> +oo) (1-x)/(1+x^2/e^x) $
$lim_(x-> +oo) (x(-1+1/x))/(1+x^2/e^x) $
$lim_(x-> +oo) x^2/e^x =0$ perchè $e^x$ è di ordine superiore rispetto a $x^2$
$lim_(x-> +oo) * (x(-1+1/x))/(1+x^2/e^x) =-oo$
quindi il limite $lim_(x-> +oo) (3/2)^x* (x(-1+1/x))/(1+x^2/e^x)=-oo
ps vedete se ho fatto giusto
il segno è negativo (c'è -1), dunque il limite dovrebbe essere $-oo$
3) $lim_(x->+oo)\(sqrt(x^2-x)/(e^(x-1)))*sen(x-1)=lim_(x->+oo)\(e*sqrt(1-1/x)*(|x|)/(e^x)*sen(x-1))$
con qualche piccolo spostamento è più chiaro?
3) $lim_(x->+oo)\(sqrt(x^2-x)/(e^(x-1)))*sen(x-1)=lim_(x->+oo)\(e*sqrt(1-1/x)*(|x|)/(e^x)*sen(x-1))$
con qualche piccolo spostamento è più chiaro?
giusto hai ragione è $-oo $ ora correggo comunque il procedimento è corretto?
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