Esercizio limiti

[lepre561]

$lim x->_(+infty)( xcos(pi/2e^(-1/x)))$

Come si imposta questo limite?

[pilloeffe]

Ciao lepre561,

Proverei a scriverlo nel modo seguente

$\lim_{x \to +\infty} xcos(pi/2e^(-1/x)) = \lim_{x \to +\infty} \frac{cos(pi/2e^(-1/x))}{1/x} $

e poi ad applicare la regola di de l'Hôpital...

[lepre561]

Ci avevo pensato ma la prof non vuole che si usi de l'hopital

[pilloeffe]

Se sono concessi potresti usare gli sviluppi in serie, altrimenti... Prova sottraendo e sommando $\pi/2 $ all'interno dell'argomento del coseno e ricordando che $cos(\alpha + \pi/2) = - sin\alpha $

[lepre561]

Sono concessi gli sviluppi ma non sono riconducibili a quelli classici...cioè vengono abbastanza complicato

Invece per il secondo procedimento non riesco a capire che fine fa il $-pi/2$

[pilloeffe]

Beh, l'idea sarebbe la seguente:

$ \lim_{x \to +\infty} xcos(pi/2e^(-1/x)) = \lim_{x \to +\infty} \frac{cos(pi/2e^(-1/x))}{1/x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{cos(pi/2e^(-1/x) - \pi/2 + pi/2)}{1/x} = $
$ = \lim_{x \to +\infty} \frac{cos(pi/2(e^(-1/x) - 1) + pi/2)}{1/x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{- sin(pi/2(e^(-1/x) - 1))}{1/x} = $
$ = \lim_{x \to +\infty} \frac{sin(pi/2(e^(-1/x) - 1))}{pi/2(e^(-1/x) - 1)} \cdot \frac{pi/2(e^(-1/x) - 1)}{- 1/x} $

A questo punto dovresti riuscire a concludere facilmente che il risultato del limite proposto è $\pi/2 $