Esercizio limiti
$Lim_(xto0)((arcsinx^2)^3)/(log(1+x^2)-sinx^2)$
$lim_(xto0)x^6/(x^2-x^2+x^6/6)$=6
Per arrivare a quei risultati ho applicato gli sviluppi di Taylor
Per $arcsin$ e $ln(1+x^2)$ mi sono fermato al primo ordine
Per il $sinx$ sono arrivato fino al secondo ordine
Il risultato però dovrebbe essere zero dove sbaglio?
Non ho sviluppato arcsin perché venivano termini più grandi dell'o piccolo
$lim_(xto0)x^6/(x^2-x^2+x^6/6)$=6
Per arrivare a quei risultati ho applicato gli sviluppi di Taylor
Per $arcsin$ e $ln(1+x^2)$ mi sono fermato al primo ordine
Per il $sinx$ sono arrivato fino al secondo ordine
Il risultato però dovrebbe essere zero dove sbaglio?
Non ho sviluppato arcsin perché venivano termini più grandi dell'o piccolo
Risposte
Perché ti sei fermato al primo ordine col $log$?
Motivo?
Motivo?
probabilmente avrei dovuto aggiunge $x^4/2$ però ai fini del risultato non cambia
Ciao lepre561,
Cambia eccome... Sviluppando $log(1 + x^2) $ fino al secondo ordine e $sin x^2 $ e $arcsin x^2 $ fino al primo il limite proposto risulta proprio $0$.
"lepre561":
ai fini del risultato non cambia
Cambia eccome... Sviluppando $log(1 + x^2) $ fino al secondo ordine e $sin x^2 $ e $arcsin x^2 $ fino al primo il limite proposto risulta proprio $0$.
"lepre561":
probabilmente avrei dovuto aggiunge $x^4/2$ però ai fini del risultato non cambia
Azz...
Ti conviene andarti a rivedere per bene la teoria sul calcolo del limite delle funzioni razionali e sul confronto tra infinitesimi.
risposto i limiti seguendo le varie indicazioni riportate nei commenti
$lim_(xto0)x^6/(x^2-x^4/2-x^2)$=$x^6/(x^4/2)$=0 ok perfetto
ma il mio dubbio è perchè con il logaritmo continuo e con gli altri no?
$lim_(xto0)x^6/(x^2-x^4/2-x^2)$=$x^6/(x^4/2)$=0 ok perfetto
ma il mio dubbio è perchè con il logaritmo continuo e con gli altri no?
Il problema è: perché non scrivi i resti delle formule di Taylor?... Se lo facessi (come dovresti) probabilmente capiresti la questione.
allora io so che i resti servono quali termini è possibile trascurare...ad esempio
se per $arcsin$ se io mi fermo al primo ordine ottengo '$o(x^9)$ se invece prendessi pure il secondo ordine l'o piccolo cambia perchè io mi trovo che diventa $o(x^12)$.A questo punto che però sviluppando il cubo di binomio ottengo termini al di sotto di $x^12$. che io prenderei come parte di sviluppo.
Dove sbaglio in questo ragionamento?
se per $arcsin$ se io mi fermo al primo ordine ottengo '$o(x^9)$ se invece prendessi pure il secondo ordine l'o piccolo cambia perchè io mi trovo che diventa $o(x^12)$.A questo punto che però sviluppando il cubo di binomio ottengo termini al di sotto di $x^12$. che io prenderei come parte di sviluppo.
Dove sbaglio in questo ragionamento?
Perché perdersi in chiacchiere quando basterebbe scrivere due formule?
Il linguaggio simbolico della Matematica è bello proprio per questo: è conciso ed evita ricorso a giri di parole.
Facciamo qualche esperimento. Ad esempio, sviluppa ogni elemento della funzione sotto segno di limite al primo ordine utile usando la formula di Taylor con il corrispondente resto di Peano.
Cosa trovi? Come si riscrive la funzione? Riesci a calcolare il limite con le informazioni a disposizione?
Il linguaggio simbolico della Matematica è bello proprio per questo: è conciso ed evita ricorso a giri di parole.
Facciamo qualche esperimento. Ad esempio, sviluppa ogni elemento della funzione sotto segno di limite al primo ordine utile usando la formula di Taylor con il corrispondente resto di Peano.
Cosa trovi? Come si riscrive la funzione? Riesci a calcolare il limite con le informazioni a disposizione?
No se mi fermo tutti al primo ordine ottengo sempre$0/0$
$(arcsin(x^2))^3=x^6+o(x^8)$
$log(1+x^2)=x^2+o(x^2)$
$sin(x^2)=x^2+o(x^8)$
Giusto?
$log(1+x^2)=x^2+o(x^2)$
$sin(x^2)=x^2+o(x^8)$
Giusto?
Qual è l’espressione dei rapporti tra i polinomi di Taylor?
Mi sfugge questa cosa...
Cosa?
Non ti sto chiedendo di ragionare, solo di scrivere una formula (che sicuramente hai già ricavato su un foglio per fare i conti).
Non ti sto chiedendo di ragionare, solo di scrivere una formula (che sicuramente hai già ricavato su un foglio per fare i conti).
ah intendi la risoluzione del limite fermandomi al primo ordine?
$(x^6+o(x^8))/((x^2+o(x^4)-(x^2+o(x^8))$
$(x^6+o(x^8))/((x^2+o(x^4)-(x^2+o(x^8))$
"lepre561":
ah intendi la risoluzione del limite fermandomi al primo ordine?
$(x^6+o(x^8))/((x^2+o(x^4)-(x^2+o(x^8))$
Esatto!
(Ma attenzione! Hai sbagliato a scrivere tutti i resti... Li correggo sotto.
)Da qui ti accorgi che le cose non funzionano: infatti, svolgendo i soliti contarielli, trascurando i termini d'ordine superiore ed usando le regole sulla somma degli $"o"$-piccoli, trovi:
\[
\frac{x^6 + \text{o} (x^6)}{(x^2 + \text{o} (x^2)) - (x^2 + \text{o} (x^2))} = \frac{x^6 + \text{o} (x^6)}{\text{o} (x^2) - \text{o} (x^2)} = \frac{x^6}{\text{o}(x^2)}\; .
\]
L'ultimo membro è in una forma non utilizzabile per il calcolo del limite, che si riduce a:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{x^6}{\text{o}(x^2)}\; ,
\]
perché le informazioni sul comportamento del denominatore sono troppo "imprecise": infatti, ad esempio, il termine $"o"(x^2)$ può nascondere un termine $x^4$, un $x^6$ o anche un $x^8$ ed il comportamento delle frazioni:
\[
\frac{x^6}{x^4}\; ,\qquad \frac{x^6}{x^6}\;, \qquad \frac{x^6}{x^8}
\]
al limite per $x\to 0$ è diversissimo!
Nasce quindi la necessità di rendere l'approssimazione più precisa.
Dato che i problemi sono dovuti alla presenza di una differenza al denominatore (la quale elimina le informazioni precise sulla parte principale di $log(1+x^2) - sin x^2$), è chiaro che bisogna lavorare lì; dunque, prendiamo gli sviluppi di Taylor al secondo ordine utile di entrambi i termini della differenza:
\[
\begin{split}
\log (1+x^2) &= x^2 -\frac{1}{2} x^4 + \text{o}(x^4)\\
\sin x^2 &= x^2 - \frac{1}{6} x^6 + \text{o}(x^6)\; ,
\end{split}
\]
e sfruttiamo le stesse tecniche di calcolo usate sopra per stabilire che:
\[
\log (1+x^2) - \sin x^2 = -\frac{1}{2} x^4 + \text{o}(x^4)
\]
(osserva che i termini $x^6$ ed $"o"(x^6)$ sono di ordine superiore a $"o"(x^4)$ e perciò vengono "fagocitati" da quest'ultimo).
Ora, formiamo nuovamente il rapporto tra le espansioni di Taylor e proviamo a calcolare il limite:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{x^6 + \text{o}(x^6)}{-\frac{1}{2} x^4 + \text{o} (x^4)} = \lim_{x\to 0} -2 \frac{x^6}{x^4} = \lim_{x\to 0 } -2x^2 = 0\ldots
\]
... Tutto liscio.
Allora non so prorpio come ringraziarti hai dato una spiegazione veramente esaudiente e precisa l'unica cosa che però non ho capito sono i resti...
mi spiego meglio io ho la tabella daventi di tutti gli sviluppi in cui ad esempio per $arcsinx=x+x^3/6+...+o(x^(2n+2))$
se a questa formula applico la mia $x^2$ ottengo $o(x^2)^4=x^8$
noto però che tu inerisci $x^6$ come mai la mia formula è sbagliata?
mi spiego meglio io ho la tabella daventi di tutti gli sviluppi in cui ad esempio per $arcsinx=x+x^3/6+...+o(x^(2n+2))$
se a questa formula applico la mia $x^2$ ottengo $o(x^2)^4=x^8$
noto però che tu inerisci $x^6$ come mai la mia formula è sbagliata?
Queste sono sottigliezze che, all'inizio, puoi risparmiarti, soprattutto se non ti è chiaro il quadro generale.
La formula di Taylor col resto di Peano afferma che ogni funzione $f$ "sufficientemente buona" intorno ad un punto $x_0$ (in particolare, dotata di derivate prima, seconda, ..., $(n-1)$-esima in $x_0$ con $n in NN$ ed $n >= 1$) e dotata di derivata $n$-esima in $x_0$ si può approssimare con il suo polinomio di Taylor d'ordine $n$ centrato in $x_0$ commettendo un erroe (termine di resto) infinitesimo d'ordine superiore all'ordine del polinomio in $x_0$, i.e.:
\[
f(x) = \underbrace{p_n(x;x_0)}_{\text{polinomio di Taylor}} + \text{o}\Big( (x-x_0)^n\Big)
\]
con \(p_n(x;x_0) = f(x_0) + f^\prime (x_0) (x-x_0) + \frac{1}{2}f^{\prime \prime}(x_0) (x-x_0)^2 + \cdots + \frac{1}{n!} f^{(n)}(x_0) (x-x_0)^n\).
Pertanto, usando questa formula, a meno di casi particolari, il termine $"o"$ contiene una potenza dello stesso grado dell'ultimo termine del polinomio di Taylor.
Questo è il modo in cui uso quasi sempre la formula se non c'è bisogno di finezze, ossia quando non devo pensare troppo ai casi particolari.
Tuttavia, in alcuni casi (per facilitare i calcoli, ad esempio), può essere utile ricordare che le proprietà delle funzioni elementari consentono di "migliorare" l'ordine di infinitesimo di alcuni sviluppi di Taylor.
Ad esempio, visto che le derivate pari di $sin$ si annullano tutte in $0$ è chiaro che i due polinomi di Taylor del seno d'ordine $1$ e d'ordine $2$, cioè $p_1(x;0)$ e $p_2(x;0)$, coincidono (il termine col quadrato manca in $p_2(x;0)$) e sono entrambi uguali ad $x$: ciò comporta che le formule di Taylor del primo e del secondo ordine contengono lo stesso polinomio, ma termini di resto differenti:
\[
\begin{split}
\sin x &= \underbrace{x + \text{o}(x)}_{\text{formula al primo ordine}} \\
&= \underbrace{x + \text{o}(x^2)}_{\text{formula al secondo ordine}}\; .
\end{split}
\]
Dunque la seconda ha un resto "più infinitesimo" della prima e ciò può venire utile in qualche contariello.
La formula di Taylor col resto di Peano afferma che ogni funzione $f$ "sufficientemente buona" intorno ad un punto $x_0$ (in particolare, dotata di derivate prima, seconda, ..., $(n-1)$-esima in $x_0$ con $n in NN$ ed $n >= 1$) e dotata di derivata $n$-esima in $x_0$ si può approssimare con il suo polinomio di Taylor d'ordine $n$ centrato in $x_0$ commettendo un erroe (termine di resto) infinitesimo d'ordine superiore all'ordine del polinomio in $x_0$, i.e.:
\[
f(x) = \underbrace{p_n(x;x_0)}_{\text{polinomio di Taylor}} + \text{o}\Big( (x-x_0)^n\Big)
\]
con \(p_n(x;x_0) = f(x_0) + f^\prime (x_0) (x-x_0) + \frac{1}{2}f^{\prime \prime}(x_0) (x-x_0)^2 + \cdots + \frac{1}{n!} f^{(n)}(x_0) (x-x_0)^n\).
Pertanto, usando questa formula, a meno di casi particolari, il termine $"o"$ contiene una potenza dello stesso grado dell'ultimo termine del polinomio di Taylor.
Questo è il modo in cui uso quasi sempre la formula se non c'è bisogno di finezze, ossia quando non devo pensare troppo ai casi particolari.
Tuttavia, in alcuni casi (per facilitare i calcoli, ad esempio), può essere utile ricordare che le proprietà delle funzioni elementari consentono di "migliorare" l'ordine di infinitesimo di alcuni sviluppi di Taylor.
Ad esempio, visto che le derivate pari di $sin$ si annullano tutte in $0$ è chiaro che i due polinomi di Taylor del seno d'ordine $1$ e d'ordine $2$, cioè $p_1(x;0)$ e $p_2(x;0)$, coincidono (il termine col quadrato manca in $p_2(x;0)$) e sono entrambi uguali ad $x$: ciò comporta che le formule di Taylor del primo e del secondo ordine contengono lo stesso polinomio, ma termini di resto differenti:
\[
\begin{split}
\sin x &= \underbrace{x + \text{o}(x)}_{\text{formula al primo ordine}} \\
&= \underbrace{x + \text{o}(x^2)}_{\text{formula al secondo ordine}}\; .
\end{split}
\]
Dunque la seconda ha un resto "più infinitesimo" della prima e ciò può venire utile in qualche contariello.
ok quindi mi consigli di mettere se non sempre ma la maggior parte delle volte l'ordine maggiore che ottengo dallo sviluppo all interno dell'opiccolo?
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