Esercizio limite senza Hopital

[lucads1]

E' possibile calcolare il seguente limite senza il teorema di De l'Hopital ?

$ lim_(x -> +oo ) (arctan(x) - pi /2)x $

[pilloeffe]

Ciao lucads,

Sì, è possibile. Ricorda che $arctan(x) + arctan(1/x) = \pi/2 \implies arctan(x) - \pi/2 = - arctan(1/x) $ e
$arctan(1/x) $[tex]\sim[/tex] $ 1/x $, quindi il risultato del limite è $ - 1 $

[lucads1]

Grazie. Posso approfittare per proporti un altro limite che ho provato a risolvere anche con Hopital, ma diventa un qualcosa di complicato:

$ lim_(x -> +oo ) xln(ln(x+1)/lnx) $

[pilloeffe]

"lucads":Grazie.

Prego.

"lucads":Posso approfittare per proporti un altro limite che ho provato a risolvere anche con Hopital

Sì, puoi...
Farei così:

$ lim_{x \to +\infty} x ln(ln(x+1)/ln x) = lim_{x \to +\infty}x ln (frac{ln x(1 + 1/x)}{ln x}) = lim_{x \to +\infty}x ln(frac{ln x + ln(1 + 1/x)}{ln x}) = $
$ = lim_{x \to +\infty}x ln(1 + frac{ln(1 + 1/x)}{ln x}) = lim_{x \to +\infty} frac{ln(1 + frac{ln(1 + 1/x)}{ln x})}{frac{ln(1 + 1/x)}{ln x}} \cdot frac{ln(1 + 1/x)}{1/x} \cdot frac{1}{ ln x} = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0 $

[lucads1]

Grazie

[lucads1]

Scusa di nuovo, ho risolto il seguente limite con De l'Hopital e viene $ 1/2 $ però vorrei sapere se è possibile calcolarlo usando solo i limiti notevoli:

$ lim_(x -> 1+) (1-x) / (arccosx)^2 $

[pilloeffe]

Lucads, non scrivere tutto in un unico thread: è preferibile aprirne uno nuovo per ogni argomento nuovo...

"lucads":vorrei sapere se è possibile calcolarlo usando solo i limiti notevoli:

Certo che è possibile, se poni $t := arccos(x) \implies x = cos t$ ti riconduci immediatamente ad un limite notevole il cui risultato è $1/2 $

[lucads1]

Scusa ma l'arcocoseno è invertibile nell'intervallo $ [-1,1] $ mentre qui stiamo lavorando in un intorno destro di $1$, o sbaglio ?

[pilloeffe]

Sì, ma si ha:

$ lim_{x \to 1^+} (1-x)/(arccosx)^2 = lim_{x \to 1^-} (1-x)/(arccosx)^2 = lim_{x \to 1} (1-x)/(arccosx)^2 = lim_{t \to 0} (1-cos t)/t^2 = 1/2 $

[dissonance]

"pilloeffe":Ciao lucads,

Sì, è possibile. Ricorda che $arctan(x) + arctan(1/x) = \pi/2 \implies arctan(x) - \pi/2 = - arctan(1/x) $ e
$arctan(1/x) $[tex]\sim[/tex] $ 1/x $, quindi il risultato del limite è $ - 1 $

Io questa identità non me la ricordavo e ho sudato un po'. Ho usato il teorema fondamentale del calcolo integrale:
\[
x(\frac\pi2-\arctan x) =x\int_x^\infty \frac{dy}{1+y^2}, \]
e poi ho cambiato variabile \(y=z^{-1}\), ottenendo
\[
x(\frac\pi2-\arctan x)=x\int_0^{\frac1x} \frac{dz}{1+z^2}.\]
Al membro destro c'è il valore medio su \([0, \tfrac1x]\) della funzione continua \(f(z)=(1+z^2)^{-1}\), quindi quando \(x\to \infty\) il membro destro tende a \(f(0)\), ovvero \(1\).

[pilloeffe]

Ciao dissonance,

"dissonance":Io questa identità non me la ricordavo

Mi permetto di dubitarne...
Beh, d'altronde dovevi pur trovare la "giustificazione" per proporre la tua soluzione col teorema fondamentale del calcolo integrale, che comunque è originale, complimenti...
Ammetterai però che sia un po' meno immediata di quella che ho proposto, anche se comunque nulla al confronto dei miei "contazzi da carpentiere" (cit. da killing_buddha) in questo thread...

[dissonance]

In effetti con quel cambio di variabile ho ridimostrato la formula che dicevi tu. Quanto ai contazzi, bisogna saperli fare e non è facile. Conosco un professore che parla di "braccio di ferro", ci vuole per fare bene i conti.

Saper fare i conti è molto importante.