[ESERCIZIO] Limite notevole

[Magma1]

Buonasera,

$lim_(x->0)(log(x^3+1)/x)$

io ho pensato di fare un cambiamento di variabile per sfruttare il limite notevole $(1+1/x)^x$ che $->e$ per $x->+oo$:


$x=1/t hArr t=1/x$ e se $x->0 rArr t->+oo$

$lim_(t->+oo)tlog(1+1/t^3)=lim_(t->+oo)log(1+1/t^3)^t$

però non riesco a capire quanto a cosa tende l'argomento $(1+1/t^3)^t$ come potrei procedere?

[Zero87]

EDIT
Ho fatto un pizzico di casino, ma giusto un pizzico, tipo confondere lucciole per lanterne.

Rimedio!

$t log(1+1/(t^3))= (t^3)/(t^2) log(1+1/(t^3)) = 1/(t^2) \cdot t^3 log(1+1/(t^3))$

A questo punto si può passare al limite. Prima avevo usato impropriamente una proprietà delle potenze; forse dopo una giornata di lavoro è meglio che vado a dormire e evito di fare altri danni...

[marco.ceccarelli]

Puoi anche sfruttare il limite notevole del logaritmo, sostituendo $ln(1+x^3)$ con $x^3$. [$0$]

[Magma1]

Intendi così:

$lim_(x->+oo)log(1+1/t^3)^((t^3)^(1/3))=lim_(x->+oo)1/3log(1+1/t^3)^(t^3)=1/3lim_(x->+oo)log(1+1/t^3)^(t^3)=1/3 loge=1/3$

Però dovrebbe venire convergente a $0$

P.S. con $log$ intendo il logaritmo in base $e$.

EDIT:

"Bubbino1993":Puoi anche sfruttare il limite notevole del logaritmo, sostituendo $ln(1+x^3)$ con $x^3$. [$0$]

Intendi con la stima asintotica? In questo modo mi viene, però il libro diceva di usare quel limite notevole e non capisco dove sbaglio

[Zero87]

@Magma, ho fatto un erroraccio - dovuto a una svista di lettura posso dire a parziale scusante - e ho editato il messaggio precedente.

Metto anche il pulsantino Torna su $\uparrow$

[donald_zeka]

Semplicemente moltiplica e dividi il tutto per $x^2$...

[Magma1]

"Zero87":
$ t log(1+1/(t^3))= (t^3)/(t^2) log(1+1/(t^3)) = 1/(t^2) \cdot t^3 log(1+1/(t^3))= $

$=lim_(t->+oo)(1/(t^2) \cdot log(1+1/(t^3))^(t^3))=lim_(t->+oo)1/(t^2)=0$

Ora torna , grazie!