Esercizio limite finito per x che tende ad un valore finito
salve, nell' esercizo \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow{2}} {\frac{x^2+x-6}{x-2}}=5 \) applicando la definizione si ha:
\(\displaystyle \left|\frac{x^2+x-6}{x-2} - 5 \right| < \varepsilon\) facendo delle semplificazioni si ha:
\(\displaystyle \left|x-2 \right| < \varepsilon \) esplicitando la x si ha: \(\displaystyle - \varepsilon + 2x deve prendere affinché la funzione sia minore di \(\displaystyle \varepsilon \). Ma andando a sostituire a x l' intervallo aperto di valori che mi sono trovato con \(\displaystyle \varepsilon \) uguale a un decimo e applicando la definizione, non mi viene che la fuzione sia minore di un decimo.
\(\displaystyle \left|\frac{x^2+x-6}{x-2} - 5 \right| < \varepsilon\) facendo delle semplificazioni si ha:
\(\displaystyle \left|x-2 \right| < \varepsilon \) esplicitando la x si ha: \(\displaystyle - \varepsilon + 2
Risposte
Non hai usato la definizione metrica di limite completa.
Nello specifico: $lim_(x->x_0) f(x)=l$ è equivalente all'enunciato: $AA\varepsilon>0$, $EE\delta=delta(\varepsilon)$ tale che $0<|x-x_0|<\delta => |f(x)-l|<\varepsilon$.
Nello specifico: $lim_(x->x_0) f(x)=l$ è equivalente all'enunciato: $AA\varepsilon>0$, $EE\delta=delta(\varepsilon)$ tale che $0<|x-x_0|<\delta => |f(x)-l|<\varepsilon$.
Io quando verifico un limite mi riscrivo la definizione $\varepsilon-\delta$ completa. Se quindi partendo da intorno di $l$ arrivo ad un'intorno di $x_0$ allora il limite è verificato, in questo caso partendo da un'intorno di $5$ arrivo ad un'intorno di $2$, il limite è quindi verificato.
La definizione $\varepsilon-\delta$ che avrei scritto è questa:
\(\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2+x-6}{x-2}=5 \Longleftrightarrow \forall \varepsilon>0 \; \exists \delta=\varepsilon: \forall x \in ]2-\delta,2+\delta[ \cap \mathbb{R}-\{2\} \Rightarrow \frac{x^2+x-6}{x-2} \in ]5-\varepsilon,5+\varepsilon[\)
Tu hai scelto $\varepsilon$ pari a un decimo, quindi
\(\displaystyle \varepsilon=\frac{1}{10} \quad \to \quad \delta=\varepsilon=\frac{1}{10} \)
Trovati questi valori trovi ora l'intorno di $2$
\(\displaystyle \left]2-\frac{1}{10},2+\frac{1}{10}\right[=\left]\frac{19}{10},\frac{21}{10}\right[ \)
Se prendi un valore in questo intervallo trovi che la sua immagine appartiene al seguente intorno di 5:
\(\displaystyle \left]5-\frac{1}{10},5+\frac{1}{10}\right[=\left]\frac{49}{10},\frac{51}{10}\right[\)
La definizione $\varepsilon-\delta$ che avrei scritto è questa:
\(\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2+x-6}{x-2}=5 \Longleftrightarrow \forall \varepsilon>0 \; \exists \delta=\varepsilon: \forall x \in ]2-\delta,2+\delta[ \cap \mathbb{R}-\{2\} \Rightarrow \frac{x^2+x-6}{x-2} \in ]5-\varepsilon,5+\varepsilon[\)
Tu hai scelto $\varepsilon$ pari a un decimo, quindi
\(\displaystyle \varepsilon=\frac{1}{10} \quad \to \quad \delta=\varepsilon=\frac{1}{10} \)
Trovati questi valori trovi ora l'intorno di $2$
\(\displaystyle \left]2-\frac{1}{10},2+\frac{1}{10}\right[=\left]\frac{19}{10},\frac{21}{10}\right[ \)
Se prendi un valore in questo intervallo trovi che la sua immagine appartiene al seguente intorno di 5:
\(\displaystyle \left]5-\frac{1}{10},5+\frac{1}{10}\right[=\left]\frac{49}{10},\frac{51}{10}\right[\)
Ciao dott.ing, si è vero, non ho usato la definizione completa di limite finito per x che tende ad un valore finito, volevo solo specificare l' intervallo in cui la x si deve trovare in base ad un \(\displaystyle \varepsilon \) arbitrario. Io ho preso come esempio \(\displaystyle \varepsilon = \frac{1}{10}\), e andando a applicare la definizione al limite si trova che
\(\displaystyle \delta = \varepsilon \). Quindi se vado a sostiuire valori più piccoli di un decimo alla funzione essa non assumerà valori più piccolo di un decimo, cioè \(\displaystyle \varepsilon \)
\(\displaystyle \delta = \varepsilon \). Quindi se vado a sostiuire valori più piccoli di un decimo alla funzione essa non assumerà valori più piccolo di un decimo, cioè \(\displaystyle \varepsilon \)
Prendi $x=\frac{52}{25}$ hai:
\(\displaystyle 0<\left|\frac{52}{25}-2\right|<\frac{1}{10} \quad \to \quad 0<\left|\frac{2}{25}\right|<\frac{1}{10} \quad \to \quad 0<\frac{2}{25}<\frac{1}{10}\)
Questo è vero. La $f(x)$ assume in tale punto $x$:
\(\displaystyle f\left(\frac{52}{25}\right)=\frac{\left(\frac{52}{25}\right)^2+\frac{52}{25}-6}{\frac{52}{25}-2}=\frac{127}{25} \)
In corrispondenza
\(\displaystyle \left|\frac{127}{25}-5\right|<\frac{1}{10} \quad \to \quad \left|\frac{127-125}{25}\right|<\frac{1}{10} \quad \to \quad \left|\frac{2}{25}\right|<\frac{1}{10} \quad \to \quad \frac{2}{25}<\frac{1}{10}\)
Uguale a quello di prima, quindi vero. Io ho ottenuto validi gli intorni, tu quale valore hai scelto per la $x$ che ti è venuto errato?
\(\displaystyle 0<\left|\frac{52}{25}-2\right|<\frac{1}{10} \quad \to \quad 0<\left|\frac{2}{25}\right|<\frac{1}{10} \quad \to \quad 0<\frac{2}{25}<\frac{1}{10}\)
Questo è vero. La $f(x)$ assume in tale punto $x$:
\(\displaystyle f\left(\frac{52}{25}\right)=\frac{\left(\frac{52}{25}\right)^2+\frac{52}{25}-6}{\frac{52}{25}-2}=\frac{127}{25} \)
In corrispondenza
\(\displaystyle \left|\frac{127}{25}-5\right|<\frac{1}{10} \quad \to \quad \left|\frac{127-125}{25}\right|<\frac{1}{10} \quad \to \quad \left|\frac{2}{25}\right|<\frac{1}{10} \quad \to \quad \frac{2}{25}<\frac{1}{10}\)
Uguale a quello di prima, quindi vero. Io ho ottenuto validi gli intorni, tu quale valore hai scelto per la $x$ che ti è venuto errato?
Ciao CaMpIoN, io avevo sostituito valori minori di 1/10 direttamente a
\(\displaystyle \left| \frac{ x^2 + x - 6}{x-2} - 5 \right|< \varepsilon \) ecco perchè non mi veniva.
\(\displaystyle \left| \frac{ x^2 + x - 6}{x-2} - 5 \right|< \varepsilon \) ecco perchè non mi veniva.
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