Esercizio limite di successioni
Ciao a tutti sto trovando alcune difficoltà con questo esercizio:
Sia $r_n$ una successione a valori reali tale che :
1) se $n != m rArr r_n !=r_m$
2) ${r_n : n in NN} = (0,1) nn QQ$
Dato $n in NN$ , definiamo $p_n , q_n in NN senza {0}$ tale che $r_n = p_n/q_n$ con $p_n$ e $q_n$ primi tra loro.
Determinare $lim_(n->infty) 1/q_n$
il problema sostanziale è che non riesco a capire il comportamento di $q_n$ avete qualche dritta?
Sia $r_n$ una successione a valori reali tale che :
1) se $n != m rArr r_n !=r_m$
2) ${r_n : n in NN} = (0,1) nn QQ$
Dato $n in NN$ , definiamo $p_n , q_n in NN senza {0}$ tale che $r_n = p_n/q_n$ con $p_n$ e $q_n$ primi tra loro.
Determinare $lim_(n->infty) 1/q_n$
il problema sostanziale è che non riesco a capire il comportamento di $q_n$ avete qualche dritta?
Risposte
Beh a me sembra abbastanza chiaro che il limite sia nullo, perché $r_n$ sono i razionali nell'intervallo $(0,1)$ per questa ragione $q_n > p_n$ inoltre $q_n\ge 2$ perché numeratore e denominatore devono essere primi fra loro.
A questo punto uno potrebbe avere il dubbio che $q_n$ possa comportarsi come meglio crede, ma questa possibilità è negata dalla condizione 1) infatti non potendosi ripetere i razionali già inseriti nella successione $q_n$ deve definitivamente tendere all'infinito.
un altro modo per vedere questo è procedere come segue:
sappiamo che $q_n > p_n$ per ogni $n$ allora fissiamo $p_n=1$ per ogni $n$ , in questo modo abbiamo che $q_n$ diverge evidentemente perché deve essere sempre maggiore di $1$ e non può ripetere i propri valori altrimenti avremmo infranto la condizione 1), tuttavia non abbiamo generato tutti i razionali in $(0,1)$, però senza dubbio questa è una sottosuccessione di $r_n$ adesso ripetiamo l'operazione con $p_n=2$ ecc. abbiamo così trovato infinite sottosuccessioni di $r_n$ e per tutte queste sottosuccessioni $q_n$ diverge, o meglio abbiamo che $q_n$ è definitivamente crescente, ora in qualunque modo noi uniamo tali sottosuccessioni (sempre a patto di eliminare le frazioni equivalenti) avremo sempre che $q_n$ diverge, questo a causa della definitiva crescenza di $q_n$ in ogni sottosuccessione originaria.
se non fossi convinto puoi provare a dimostrare il fatto che $q_n$ sia definitivamente crescente per assurdo.
Ora poichè ogni sottosuccessione di $q_n$ diverge allora diverge anche la successione $q_n$ (quale che sia). Perciò il limite è zero.
A questo punto uno potrebbe avere il dubbio che $q_n$ possa comportarsi come meglio crede, ma questa possibilità è negata dalla condizione 1) infatti non potendosi ripetere i razionali già inseriti nella successione $q_n$ deve definitivamente tendere all'infinito.
un altro modo per vedere questo è procedere come segue:
sappiamo che $q_n > p_n$ per ogni $n$ allora fissiamo $p_n=1$ per ogni $n$ , in questo modo abbiamo che $q_n$ diverge evidentemente perché deve essere sempre maggiore di $1$ e non può ripetere i propri valori altrimenti avremmo infranto la condizione 1), tuttavia non abbiamo generato tutti i razionali in $(0,1)$, però senza dubbio questa è una sottosuccessione di $r_n$ adesso ripetiamo l'operazione con $p_n=2$ ecc. abbiamo così trovato infinite sottosuccessioni di $r_n$ e per tutte queste sottosuccessioni $q_n$ diverge, o meglio abbiamo che $q_n$ è definitivamente crescente, ora in qualunque modo noi uniamo tali sottosuccessioni (sempre a patto di eliminare le frazioni equivalenti) avremo sempre che $q_n$ diverge, questo a causa della definitiva crescenza di $q_n$ in ogni sottosuccessione originaria.
se non fossi convinto puoi provare a dimostrare il fatto che $q_n$ sia definitivamente crescente per assurdo.
Ora poichè ogni sottosuccessione di $q_n$ diverge allora diverge anche la successione $q_n$ (quale che sia). Perciò il limite è zero.
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