Esercizio limite di funzione
Potreste aiutarmi a trovare l'errore? L'esercizio è il seguente:
$lim_(x->0) ln(1+4x^4)/(xarctan(2x+1)sin^3(x))$
L'ho pensato, molto banalmente, così:
$lim_(x->0) ln(1+4x^4)* 1/x*1/arctan(2x+1)*1/sin^3(x)=$
$lim_(x->0) (ln(1+4x^4)* 1/x*1/arctan(2x+1)*1/sin^3(x))(4x^4)/(4x^4) *(2x+1)/(2x+1)=$
$lim_(x->0) (ln(1+4x^4)/(4x^4)* x/x*(2x+1)/arctan(2x+1)*(x^3)/sin^3(x))*4/(2x+1)$=
$lim_(x->0) ln(1+4x^4)/(4x^4)*lim_(x->0) x/x*lim_(x->0)(arctan(2x+1)/(2x+1))^-1*lim_(x->0)(sin^3(x)/x^3)^-1*lim_(x->0)4/(2x+1)= "1*1*1*1*4"=4$
Invece mi dice che il risultato è $16/pi$. Ho provato a disegnarla con geogebra ed effettivamente il limite è $16/pi$ ma non capisco cosa ho sbagliato nei calcoli.
Vi ringrazio anticipatamente
$lim_(x->0) ln(1+4x^4)/(xarctan(2x+1)sin^3(x))$
L'ho pensato, molto banalmente, così:
$lim_(x->0) ln(1+4x^4)* 1/x*1/arctan(2x+1)*1/sin^3(x)=$
$lim_(x->0) (ln(1+4x^4)* 1/x*1/arctan(2x+1)*1/sin^3(x))(4x^4)/(4x^4) *(2x+1)/(2x+1)=$
$lim_(x->0) (ln(1+4x^4)/(4x^4)* x/x*(2x+1)/arctan(2x+1)*(x^3)/sin^3(x))*4/(2x+1)$=
$lim_(x->0) ln(1+4x^4)/(4x^4)*lim_(x->0) x/x*lim_(x->0)(arctan(2x+1)/(2x+1))^-1*lim_(x->0)(sin^3(x)/x^3)^-1*lim_(x->0)4/(2x+1)= "1*1*1*1*4"=4$
Invece mi dice che il risultato è $16/pi$. Ho provato a disegnarla con geogebra ed effettivamente il limite è $16/pi$ ma non capisco cosa ho sbagliato nei calcoli.
Vi ringrazio anticipatamente
Risposte
Ciao paolo1712,
Beh, in effetti si ha:
$ \lim_(x \to 0) ln(1+4x^4)/(xarctan(2x+1)sin^3(x)) = \lim_(x \to 0) ln(1+4x^4)/(4x^4) \cdot (4x^4)/(xsin^3(x))\cdot 1/(arctan(2x+1)) = $
$= \lim_(x \to 0) ln(1+4x^4)/(4x^4) \cdot (4x^3)/(sin^3(x))\cdot 1/(arctan(2x+1)) = 1 \cdot 4 \cdot 1/(\pi/4) = 16/\pi $
Beh, in effetti si ha:
$ \lim_(x \to 0) ln(1+4x^4)/(xarctan(2x+1)sin^3(x)) = \lim_(x \to 0) ln(1+4x^4)/(4x^4) \cdot (4x^4)/(xsin^3(x))\cdot 1/(arctan(2x+1)) = $
$= \lim_(x \to 0) ln(1+4x^4)/(4x^4) \cdot (4x^3)/(sin^3(x))\cdot 1/(arctan(2x+1)) = 1 \cdot 4 \cdot 1/(\pi/4) = 16/\pi $
Però $lim_(x->0) arctan(f(x))/f(x)=1$ è corretto, no? Perché utilizzarlo mi porta ad un errore simile?
"paolo1712":
Però $\lim_(x->0) arctan(f(x))/f(x)=1$ è corretto, no?
No, sarebbe corretto con $f(x) \to 0 $, ma nel tuo caso $f(x) = 2x + 1 $ e $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$, non $0$...
Chiaro! Ti ringrazio
"paolo1712":
Ti ringrazio
Prego.
Per rispondere ai post si usa il pulsante RISPONDI in fondo alla pagina, non il pulsante "CITA: infatti, raramente è necessario citare tutta la risposta di colui che te l'ha data ed anzi così facendo si appesantisce inutilmente il thread... Comunque tranquillo, all'inizio della frequentazione del forum ci sono cascati in molti (sottoscritto incluso
)
Scusami, credevo che con la funzione risposta rapida, non arrivassero notifiche. Ti ringrazio per la dritta
@paolo
Puoi editare il messaggio eliminando la parte citata cliccando sul pulsante modifica in alto a destra. Il tutto risulterà più leggero.
Per il resto segui i consigli di pf e buona permanenza
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"pilloeffe":
[quote="paolo1712"]Però $\lim_(x->0) arctan(f(x))/f(x)=1$ è corretto, no?
No, sarebbe corretto con $f(x) \to 0 $[/quote]
Qui sarebbe il caso che paolo1712 riflettesse sul perché di questa cosa...
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