Esercizio Limite con forma indeterminata
Salve a tutti!
Ho trovato questo limite che si presenta nella forma indeterminata $ 0/0 $ :
$ lim_(x -> 3+) (arctan x -arctan (6-x))/(ln x -ln (6-x) $
Usando De l'Hospital la risoluzione è semplice, ma volevo provare a risolverlo senza utilizzare teoremi bensì i limiti notevoli.
Ho iniziato pensando di sostituire $ x $ con $ t+3 $ in modo da avere il limite tendente a 0+ e non più a 3+.
Il problema è che non riesco a capire come semplificare oltre a raccogliere il denominatore usando le regole dei logaritmi (che non so quanto possa aiutare) ovvero: $ log ((t+3)/(-t+3)) $ .
Non capisco veramente dove sbaglio... Potreste darmi dei consigli?
Grazie mille in anticipo.
Ho trovato questo limite che si presenta nella forma indeterminata $ 0/0 $ :
$ lim_(x -> 3+) (arctan x -arctan (6-x))/(ln x -ln (6-x) $
Usando De l'Hospital la risoluzione è semplice, ma volevo provare a risolverlo senza utilizzare teoremi bensì i limiti notevoli.
Ho iniziato pensando di sostituire $ x $ con $ t+3 $ in modo da avere il limite tendente a 0+ e non più a 3+.
Il problema è che non riesco a capire come semplificare oltre a raccogliere il denominatore usando le regole dei logaritmi (che non so quanto possa aiutare) ovvero: $ log ((t+3)/(-t+3)) $ .
Non capisco veramente dove sbaglio... Potreste darmi dei consigli?
Grazie mille in anticipo.
Risposte
$log((t+3)/(3-t))=log(1+(2t)/(3-t)) ~ (2t)/(3-t)$
poi,poniamo $alpha=arctan(t+3)$ e $beta=arctan(3-t)$
si ha $tg(alpha-beta)=((t+3)-(3-t))/(1+(9-t^2))=(2t)/(10-t^2)$
quindi,$alpha-beta=arctan ((2t)/(10-t^2)) ~(2t)/(10-t^2)$
poi,poniamo $alpha=arctan(t+3)$ e $beta=arctan(3-t)$
si ha $tg(alpha-beta)=((t+3)-(3-t))/(1+(9-t^2))=(2t)/(10-t^2)$
quindi,$alpha-beta=arctan ((2t)/(10-t^2)) ~(2t)/(10-t^2)$
Grazie mille per aver risposto.
E' una buona idea! A me il numeratore uguale a $ 2t $ veniva ma il denominatore no, ed era quello il vero problema.
Comunque il ragionamento è per stime giusto? Nel senso $ log (1 +( 2t)/(3-t)) $ è circa solamente l'argomento?
Un'altra domanda: come hai fatto a scrivere la frazione (argomento del logaritmo) in questo modo?
E' una buona idea! A me il numeratore uguale a $ 2t $ veniva ma il denominatore no, ed era quello il vero problema.
Comunque il ragionamento è per stime giusto? Nel senso $ log (1 +( 2t)/(3-t)) $ è circa solamente l'argomento?
Un'altra domanda: come hai fatto a scrivere la frazione (argomento del logaritmo) in questo modo?
sì,rifacendomi ai limiti notevoli ho usato delle funzioni asintotiche a quelle di partenza
poi,$(t+3)/(3-t)=(3-t+2t)/(3-t)=1+(2t)/(3-t)$
poi,$(t+3)/(3-t)=(3-t+2t)/(3-t)=1+(2t)/(3-t)$
Ah ho capito, adesso è chiaro! Grazie mille.
Quindi mi consigli di procedere per stime in casi come questi? Anche se devo ammettere che il passo decisivo è stata la formula della tangente alla quale non avevo proprio pensato...
Quindi mi consigli di procedere per stime in casi come questi? Anche se devo ammettere che il passo decisivo è stata la formula della tangente alla quale non avevo proprio pensato...
sì,le stime asintotiche aiutano molto
poi,la formula della tangente è stata un colpo di genio (scherzo,eh
)
poi,la formula della tangente è stata un colpo di genio (scherzo,eh
)
Hahaha no, effettivamente lo è stato!
Grazie ancora
Grazie ancora
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