Esercizio Limite aiuto svolgimento :P
Buonasera a tutti, mi trovo ad affrontare molteplici esercizi di questo genere, limiti con x all'esponente...
tuttavia non li trovo per nulla semplici, e provando con i molteplici calcolatori ottengo sempre risultati diversi dai miei, quindi vorrei sapere come fare a svolgerli dato che sicuramente lo faccio nella maniera sbagliata...
Vi porgo un esempio:
Il limite tende a + infinito.
[size=150]$\lim_{x \to \infty}[(x^(2)-2x)/(x^(2)-2x+1)]^[(x^(3))*log(1+3/x)]$[/size]
Bene, essendo una forma indeterminata lo trasformo tramite l'esponenziale, ovvero:
$e^lim_{x \to \infty}{[x^(3)]*[log((x^(2)-2x)/(x^(2)-2x+1))]*[log(1+3/x)]}$
Fatto ciò i due logaritmi diventano $log(1)=0$ mentre $x^(3)$ tende a + infinito.
Quindi dovrebbe prevalere sui due logaritmi l'esponenziale di 3 grado, far venire il limite uguale a + infinito e quindi + infinito come risultato finale (e elevata a + infinito = + infinito)
Il calcolatore invece mi dice che viene $1/e^(3)$ ... bene di certo ho sbagliato io e non lui, ma lui lo risolve considerando $t=1/x$ , sostituendola nel limite esponenziale ed applicando hopital innumerevoli volte ottiene il risultato...
Dando un occhiata ai conti mi sono reso conto che forse applicare Hopital non è la strada migliore per noi esseri umani
(almeno per me, i conti sono stratosferici) e che sicuramente ci sarà qualche altro metodo di risoluzione...
A voi la parola.
Grazie anticipatamente.
tuttavia non li trovo per nulla semplici, e provando con i molteplici calcolatori ottengo sempre risultati diversi dai miei, quindi vorrei sapere come fare a svolgerli dato che sicuramente lo faccio nella maniera sbagliata...
Vi porgo un esempio:
Il limite tende a + infinito.
[size=150]$\lim_{x \to \infty}[(x^(2)-2x)/(x^(2)-2x+1)]^[(x^(3))*log(1+3/x)]$[/size]
Bene, essendo una forma indeterminata lo trasformo tramite l'esponenziale, ovvero:
$e^lim_{x \to \infty}{[x^(3)]*[log((x^(2)-2x)/(x^(2)-2x+1))]*[log(1+3/x)]}$
Fatto ciò i due logaritmi diventano $log(1)=0$ mentre $x^(3)$ tende a + infinito.
Quindi dovrebbe prevalere sui due logaritmi l'esponenziale di 3 grado, far venire il limite uguale a + infinito e quindi + infinito come risultato finale (e elevata a + infinito = + infinito)
Il calcolatore invece mi dice che viene $1/e^(3)$ ... bene di certo ho sbagliato io e non lui, ma lui lo risolve considerando $t=1/x$ , sostituendola nel limite esponenziale ed applicando hopital innumerevoli volte ottiene il risultato...
Dando un occhiata ai conti mi sono reso conto che forse applicare Hopital non è la strada migliore per noi esseri umani
(almeno per me, i conti sono stratosferici) e che sicuramente ci sarà qualche altro metodo di risoluzione...A voi la parola.
Grazie anticipatamente.
Risposte
Ok, provo a cimentarmi! 
Inanzitutto considero che $log(1+3/x)\sim 3/x$ per $x->+infty$ quindi il limite diventa:
$lim_(x->+infty) [(x^2-2x)/(x^2-2x+1)]^(3x^2)$
Passo in forma esponenziale:
$lim_(x->+infty) exp(3x^2[log((x^2-2x)/(x^2-2x+1))])$
$lim_(x->+infty) exp(3x^2[log(x)+log(x-2)-2log(x-1)])$
$lim_(x->+infty) exp(3x^2[log(x)+log(x)+log(1-2/x)-2log(x)-2log(1-1/x)])$
$lim_(x->+infty) exp(3x^2[log(1-2/x)-2log(1-1/x)]$
Da quindi dovresti riuscire a concludere usando sempre gli sviluppi
Inanzitutto considero che $log(1+3/x)\sim 3/x$ per $x->+infty$ quindi il limite diventa:
$lim_(x->+infty) [(x^2-2x)/(x^2-2x+1)]^(3x^2)$
Passo in forma esponenziale:
$lim_(x->+infty) exp(3x^2[log((x^2-2x)/(x^2-2x+1))])$
$lim_(x->+infty) exp(3x^2[log(x)+log(x-2)-2log(x-1)])$
$lim_(x->+infty) exp(3x^2[log(x)+log(x)+log(1-2/x)-2log(x)-2log(1-1/x)])$
$lim_(x->+infty) exp(3x^2[log(1-2/x)-2log(1-1/x)]$
Da quindi dovresti riuscire a concludere usando sempre gli sviluppi
a me è venuto $e^-3$
perchè ho usato gli slivuppi
arrivato qui
la $x\rightarrow+\infty$
$\exp(x^3 \ln(1+3/x)\ln((x^2-2x)/(x^2-2x+1)))=\exp(x^3 \ln(1+3/x)\ln(1-(1)/(x^2-2x+1)))=$
il secondo logaritmo cioè $\ln(1-(1)/(x^2-2x+1))$ per $x\rightarrow+\infty$ si comporta come $\ln(1-(1)/(x^2))$
quindi possiamo proseguire
$=\exp(x^3 \ln(1+3/x)\ln(1-(1)/(x^2)))$
a questo punto diventa facile perchè posso usare gli sviluppi di Taylor-Mclaurin all'interno dei 2 logaritmi ci sono 2 quantità infinitesime e per $x\rightarrow+\infty$..$\ln(1+x)=x+o(x) $
per cui l'esponente dell'esponenziale, sviluppo e uso l'asintotico visto che sono con dei prodotti
tutto questo per $x\rightarrow+\infty$
$x^3 \ln(1+3/x)\ln(1-(1)/(x^2))=x^3(3/x+o(1/x))(-(1)/(x^2)+o((1)/(x^2)))\sim x^3\cdot 3/x\cdot (-(1)/(x^2))=-3$
quindi il nostro limite di partenza è $\lim_{x\rightarrow+\infty} f(x)= e^{-3}$
perchè ho usato gli slivuppi
arrivato qui
la $x\rightarrow+\infty$
$\exp(x^3 \ln(1+3/x)\ln((x^2-2x)/(x^2-2x+1)))=\exp(x^3 \ln(1+3/x)\ln(1-(1)/(x^2-2x+1)))=$
il secondo logaritmo cioè $\ln(1-(1)/(x^2-2x+1))$ per $x\rightarrow+\infty$ si comporta come $\ln(1-(1)/(x^2))$
quindi possiamo proseguire
$=\exp(x^3 \ln(1+3/x)\ln(1-(1)/(x^2)))$
a questo punto diventa facile perchè posso usare gli sviluppi di Taylor-Mclaurin all'interno dei 2 logaritmi ci sono 2 quantità infinitesime e per $x\rightarrow+\infty$..$\ln(1+x)=x+o(x) $
per cui l'esponente dell'esponenziale, sviluppo e uso l'asintotico visto che sono con dei prodotti
tutto questo per $x\rightarrow+\infty$
$x^3 \ln(1+3/x)\ln(1-(1)/(x^2))=x^3(3/x+o(1/x))(-(1)/(x^2)+o((1)/(x^2)))\sim x^3\cdot 3/x\cdot (-(1)/(x^2))=-3$
quindi il nostro limite di partenza è $\lim_{x\rightarrow+\infty} f(x)= e^{-3}$
Ottimo, è tutto perfetto...
Ma non mi è chiara solo una cosa nel post di Obidream, nel penultimo passaggio hai ottenuto due log(x) e un -2log(x)...
il primo log(x) deriva dalla X messa in comune al numeratore, l'altro log(x) e il -2log(x) da dove vengono fuori? :S
Ma non mi è chiara solo una cosa nel post di Obidream, nel penultimo passaggio hai ottenuto due log(x) e un -2log(x)...
il primo log(x) deriva dalla X messa in comune al numeratore, l'altro log(x) e il -2log(x) da dove vengono fuori? :S
Dunque, ho fatto così: $log(x-1)->log(x(1-1/x))->log(x)+log(1-1/x)$
Ho semplicemente raccolto la $x$ dentro il logaritmo e poi l'ho spezzato usando le proprietà dei logaritmi
Ho semplicemente raccolto la $x$ dentro il logaritmo e poi l'ho spezzato usando le proprietà dei logaritmi
Hai perfettamente ragione, non avevo considerato il denominatore Grazie mille
Grazie mille
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