Esercizio limite

[Espimas]

Chi mi aiuta a impostare questo esercizio?

$ lim_(x -> -oo) (1+e^x)^x $

L'ho trasformato nel seguente limite:

$ lim_(x -> -oo) [(1+1/(1/e^x))^(1/e^x)] ^(x e^x) $

La parte tra parentesi quadre tende ad $ e $ ma l'esponente tende alla forma indeterminata $ -oo * 0 $. Devo trovare un'altra strada, mi aiutate?

[Seneca1]

"Espimas":Chi mi aiuta a impostare questo esercizio?

$ lim_(x -> -oo) (1+e^x)^x $

L'ho trasformato nel seguente limite:

$ lim_(x -> -oo) [(1+1/(1/e^x))^(1/e^x)] ^(x e^x) $

La parte tra parentesi quadre tende ad $ e $ ma l'esponente tende alla forma indeterminata $ -oo * 0 $. Devo trovare un'altra strada, mi aiutate?

L'usuale identità logaritmica:


$lim_(x -> -oo) (1+e^x)^x = lim_(x -> -oo) e^(x * ln(1+e^x)) = lim_(x -> -oo) e^(ln(1+e^x)/(1/x))$ ...

[Espimas]

"Seneca": $lim_(x -> -oo) (1+e^x)^x = lim_(x -> -oo) e^(x * ln(1+e^x)) = lim_(x -> -oo) e^(ln(1+e^x)/(1/x))$ ...

$ lim_(x -> -oo) e^(((ln(1+e^x)/e^x)*e^x) /(1/x)) $
L'espressione a numeratore tra parentesi tende ad 1, mi rimane quindi $ lim_(x -> -oo) e^((e^x) /(1/x)) $ il cui esponente è un'altra forma indeterminata del tipo $ 0 / 0 $

Cosa sbaglio?

[indovina]

Posto i miei calcoli, sperando siano giusti:

applico de hopital

$((e^x)/(1+e^x))/(-1/x^2)=(e^x/[(e^x)*(1+1/e^x)])/(-1/x^2)=(-1)/[(x^2)(1+1/e^x)]$

si riscrive e viene:
$(-1/x^2)/(1+1/e^x)$

per $x->-oo$ $(-1/x^2)=0$

per $x->-oo$ $(1+1/e^x)=+oo$

dato che $0/oo$ non è una forma indeterminata, vale direttamente $0$
dunque $e^0=1$
il limite vale $1$

spero vada bene, aspettiamo i matematici
ciao

[Espimas]

Grazie.
Però sul mio libro questo esercizio è proposto prima del Teorema di De L'Hopital. Quindi si dovrebbe poter fare anche senza utilizzare questo teorema.
Qualcuno è in grado di capire come procedere senza utilizzare Hopital?

[Espimas]

Ci sono riuscito a risolverlo. Bastava sostituire $ y=e^x $ al limite iniziale e il gioco era fatto.