Esercizio limite
Buongiorno ragazzi, ho bisogno di una mano.
Non so proprio come risolvere il seguente
$ \lim _{x \to - \infty } x^3 [ \frac {1}{2x} + \sin ( x + \sqrt {x^2 + 1} \, )] $
Vi chiedo gentilmente se potete descrivermi il processo di risoluzione con almeno qualche calcolo svolto per capirci qualcosa, perchè non so proprio da dove cominciare!
Grazie a chiunque risponda.
Non so proprio come risolvere il seguente
$ \lim _{x \to - \infty } x^3 [ \frac {1}{2x} + \sin ( x + \sqrt {x^2 + 1} \, )] $
Vi chiedo gentilmente se potete descrivermi il processo di risoluzione con almeno qualche calcolo svolto per capirci qualcosa, perchè non so proprio da dove cominciare!
Grazie a chiunque risponda.
Risposte
Osserviamo innanzitutto che per $x->-oo$ risulta:
$sen(x+sqrt(x^2+1))=sen(x-xsqrt(1+1/x^2))=sen((1-sqrt(1+1/x^2))/(1/x)))$
Posto quindi $y=1/x$, il limite da calcolare diventa
$lim_(y->0^-)((y/2+sen((1-sqrt(1+y^2))/y))/y^3)$
Per $y->0^-$, si ha
$(1-sqrt(1+y^2))/y=(1-(1+y^2/2-y^4/8+o(y^4)))/y=-y/2+y^3/8+o(y^3)$
per cui
$sen((1-sqrt(1+y^2))/y)=-y/2+y^3/8+o(y^3)-1/6(-y/2+y^3/8+o(y^3))^3+o(y^3)=-y/2+y^3/8+y^3/48+o(y^3)=-y/2+7/48y^3+o(y^3)$
Quindi il limite da calcolare diventa
$lim_(y->0^-)((7/48y^3+o(y^3))/y^3)=7/48$
$sen(x+sqrt(x^2+1))=sen(x-xsqrt(1+1/x^2))=sen((1-sqrt(1+1/x^2))/(1/x)))$
Posto quindi $y=1/x$, il limite da calcolare diventa
$lim_(y->0^-)((y/2+sen((1-sqrt(1+y^2))/y))/y^3)$
Per $y->0^-$, si ha
$(1-sqrt(1+y^2))/y=(1-(1+y^2/2-y^4/8+o(y^4)))/y=-y/2+y^3/8+o(y^3)$
per cui
$sen((1-sqrt(1+y^2))/y)=-y/2+y^3/8+o(y^3)-1/6(-y/2+y^3/8+o(y^3))^3+o(y^3)=-y/2+y^3/8+y^3/48+o(y^3)=-y/2+7/48y^3+o(y^3)$
Quindi il limite da calcolare diventa
$lim_(y->0^-)((7/48y^3+o(y^3))/y^3)=7/48$
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