Esercizio limite

[lepre561]

$lim_(xto+infty)((x^3+3x^2+5)/(x^3+3))^(x^2+sinx)$

Io avevo pensato a questo risoluzione

$lim_(xto+infty)((x^3+3)/(x^3+3)+(3x^2+2)/(x^3+3)))^(x^2)$

$lim_(xto+infty)(1+(3/x)^(x))^x$

$lim_(xtoinfty)(e^3)^x=+infty$

giusto o è sbagliato?

[pilloeffe]

Ciao lepre561,

La seconda che hai detto: è sbagliato...
(cit. da Quelo - Corrado Guzzanti - https://www.youtube.com/watch?v=jYQWVnKEFRk)
Il risultato è corretto, ma il procedimento no: come ti dicevo, non puoi passare al limite due volte, quando si passa al limite si passa al limite...
Qui la strategia è cercare di ricondursi al limite notevole seguente:

$\lim_{f(x) \to +\infty} (1 + \frac{1}{f(x)})^{f(x)} = e $

[lepre561]

in un certo senso mi sono ricondotto alla forma da te consigliata...infatti se noti mi viene $e^3$ il problema è che l'esponente è $x^2$

[pilloeffe]

Prova ad andare avanti da qui:

$\lim_{x \to +\infty} ((x^3+3x^2+5)/(x^3+3))^(x^2+sinx) = \lim_{x \to +\infty} ((x^3+3)/(x^3+3)+(3x^2+2)/(x^3+3))^(x^2 + sin x) = lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{1}{(x^3+3)/(3x^2+2)})^(x^2 + sin x) $

[lepre561]

"pilloeffe":Prova ad andare avanti da qui:

$\lim_{x \to +\infty} ((x^3+3x^2+5)/(x^3+3))^(x^2+sinx) = \lim_{x \to +\infty} ((x^3+3)/(x^3+3)+(3x^2+2)/(x^3+3))^(x^2 + sin x) = lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{1}{(x^3+3)/(3x^2+2)})^(x^2 + sin x) $

$ lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{1}{(x^3+3)/(3x^2+2)})^((x^3+3)/(3x^2+2)*((3x^2+2)/(x^3+3))(x^2 + sin x) $

e quindi viene $e^(3x)$

P.s il seno si può eliminare con un raccoglimento dato chè è una costante?(cioè oscilla tra -1 e1)

[pilloeffe]

"lepre561":e quindi viene $e^{3x}$

Si ha:

$\lim_{x \to +\infty} [(1 + \frac{1}{(x^3+3)/(3x^2+2)})^((x^3+3)/(3x^2+2))]^{((3x^2+2)/(x^3+3))(x^2 + sin x)} $

Per $x \to +\infty $ ciò che sta dentro le parentesi quadre risulta $e$, mentre l'esponente risulta $\+infty $ (cosa fa $sin x $ poco ti importa, perché come hai capito è una funzione limitata). Si conclude che il risultato del limite proposto è $+\infty $

[lepre561]

si ma quello fuori parentesi se analizzato apparte moltiplicando tutto per $x^2$ fa $3x$

ecco perchè ho scritto $3x$

è sbagliato scriverlo??

[pilloeffe]

"lepre561":si ma quello fuori parentesi se analizzato apparte moltiplicando tutto per $x^2 $ fa $3x $ ecco perchè ho scritto $3x$
è sbagliato scriverlo??

Sì, perché se scrivi $e^{3x} $ è come se passassi al limite per ciò che sta dentro le parentesi quadre e non per l'esponente, e questo non si può fare: quando si passa al limite lo si fa per tutto in un'unica soluzione. Diverso è se scrivi $3x $ ad esponente prima di passare al limite, che allora lo puoi anche fare, ma non serve a molto una volta che si è capito che l'esponente risulta $+\infty $ per $x \to +\infty $