Esercizio limite

[lepre561]

$lim_(xto0+)(cos(sinx))^(lnx)$

io avevo optato per questa risoluzione...

per gli sviluppi di taylor $sinx=x+o(x)$

per cui il limite diventa $lim_(xto0+)(cos(x))^(lnx)$ = $1^(-infty)$=1

giusto come procedimento?

[pilloeffe]

Ciao lepre561,

"lepre561":giusto come procedimento?

No perché $1^{\infty} $ è una forma indeterminata, anche se il risultato del limite proposto in effetti è $1$.
Prova usando il consueto trucchetto seguente:

$\lim_{x \to 0^+}[cos(sinx)]^(lnx) = \lim_{x \to 0^+}exp{(lnx) ln[cos(sinx)]} $

[lepre561]

per caso hai proposto la forma per i limiti della forma $1^infty$ che si risolvono con $e^l$? dove $l=lim_(xtox_0)(g(x)[f(x)-1]$
-
in ogni caso risolvendo il limite nella forma da te proposta se utilizzo lo stesso metodo di prima ovvero lo sviluppo di sinx

ottengo $(lnx)(ln1)$ che però mi ridà una forma indetrminate $0*infty$

[pilloeffe]

No. Per dimostrare che il limite proposto risulta $1 $ basta dimostrare che si ha:

$ \lim_{x \to 0^+} (lnx) ln[cos(sinx)] = 0 $

Infatti si ha:

$ \lim_{x \to 0^+} (lnx) ln[cos(sinx)] = \lim_{x \to 0^+} (lnx) ln\sqrt{1 - sin^2(sin x)} = \lim_{x \to 0^+} (lnx) 1/2 ln[1 - sin^2(sin x)] = $
$ = 1/2 \cdot \lim_{x \to 0^+} x^2 lnx \cdot \frac{ln[1 - sin^2(sin x)]}{- sin^2(sin x)} \cdot \frac{- sin^2(sin x)}{sin^2x} \cdot \frac{sin^2x}{x^2} = $
$ = - 1/2 \cdot \lim_{x \to 0^+} x^2 lnx \cdot \frac{ln[1 - sin^2(sin x)]}{- sin^2(sin x)} \cdot \frac{sin^2(sin x)}{sin^2x} \cdot \frac{sin^2x}{x^2} = - 1/2 \cdot 0 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 0 $

[lepre561]

"pilloeffe":No. Per dimostrare che il limite proposto risulta $1 $ basta dimostrare che si ha:

$ \lim_{x \to 0^+} (lnx) ln[cos(sinx)] = 0 $

Infatti si ha:

$ \lim_{x \to 0^+} (lnx) ln[cos(sinx)] = \lim_{x \to 0^+} (lnx) ln\sqrt{1 - sin^2(sin x)} = \lim_{x \to 0^+} (lnx) 1/2 ln[1 - sin^2(sin x)] = $
$ = 1/2 \cdot \lim_{x \to 0^+} x^2 lnx \cdot \frac{ln[1 - sin^2(sin x)]}{- sin^2(sin x)} \cdot \frac{- sin^2(sin x)}{sin^2x} \cdot \frac{sin^2x}{x^2} = $
$ = - 1/2 \cdot \lim_{x \to 0^+} x^2 lnx \cdot \frac{ln[1 - sin^2(sin x)]}{- sin^2(sin x)} \cdot \frac{sin^2(sin x)}{sin^2x} \cdot \frac{sin^2x}{x^2} = - 1/2 \cdot 0 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 0 $

ci sono parecchie cose che non mi convincono

$ \lim_{x \to 0^+} (lnx) ln[cos(sinx)] = 0 $ come fai a cambiare il limite in questa forma? e soprattutto perche lo fai?

$(lnx) ln\sqrt{1 - sin^2(sin x)$ perchè compare la radice all'improvviso? e perchè $cosx$ si trasfroma si $1-sin^2x$?

[Mephlip]

Se non sbaglio @pilloeffe ha usato il fatto che $a^{\ln b}=b^{\ln a}$ se $a,b>0$ e $a,b \ne 1$.
Per la seconda domanda, da $\cos^2 x + \sin^2 x=1$ segue che $\cos x= \sqrt{1- \sin^2 x}$, perché la radice è senza $\pm$ secondo te?

[lepre561]

"Mephlip":Se non sbaglio @pilloeffe ha usato il fatto che $a^{\ln b}=b^{\ln a}$ se $a,b>0$ e $a,b \ne 1$.
Per la seconda domanda, da $\cos^2 x + \sin^2 x=1$ segue che $\cos x= \sqrt{1- \sin^2 x}$, perché la radice è senza $\pm$ secondo te?

ok la radice lho capita e credo che è senza segno in quanto è sottointeso il + perche il limite tende a $0+$ e quindi il cos è positivo

invece per il primo dubbio ancora non ci sono

[Mephlip]

Ora che rileggo bene, dimentica la prima cosa che ho scritto; è giusta ma non ha usato quella.
Per il dubbio che ti è rimasto ha già risposto pilloeffe, ha usato la formula $f(x)^{g(x)}=e^{g(x) \ln [f(x)]$; perciò ora sta studiando a parte l'esponente.
Infatti, se esso tende a $0$, si ha che tutto tende ad $e^0=1$.