Esercizio limite

[agob89]

Salve a tutti, ho un problema nel svolgere questo limite $ lim_(x -> 0) ((e^-(x^2)+1-2cos(x))/(sin(x^4))) $ , cioè applicando de l'hopital mi trovo come risultato $ 5/12 $ , l'unico problema è che la traccia chiede di risolverlo senza applicare de l'hopital e non so proprio come impostarlo, se potreste darmi un aiuto nell'impostazione. Ringrazio tutti in anticipo

[dan952]

Quando de l'Hopital non puoi usare con Taylor puoi tentare

[agob89]

Grazie mille per la risposta , l'unico problema sta nel fatto che il professore ha chiesto di trovare il risultato tramite limiti notevoli, ora non so se è possibile oppure l'ha detto solo cosi, ma nel dubbio voorei capire se è possibile svolgerlo tramite limiti notevoli.

[dan952]

Ah OK allora prova a moltiplicare e dividere per $x^4$ e sfrutta limiti notevoli come $\lim \frac{\sin(x^4)}{x^4}=1$
e $\lim \frac{1-cos(x)}{x^2}=1/2$

[agob89]

Grazie mille per la risposta entra oggi provo e vedo se riesco a svolgere il limite

[francicko]

Non credo sia possibile risolverlo con i limiti notevoli in quanto vengono coinvolti termini successivi al primo termine in $x$ le uniche possibilità sono l'uso di Hopital, o Taylor;

[dan952]

Che intendi?

[francicko]

I limiti notevoli equivalgono allo sviluppo di taylor arrestato al primo termine in $x $, e qui nella differenza di infinitesimi a numeratore vengono coinvolti termini successivi;
Nel caso del limite in questione ponendo $t=x^2$, e sviluppando in serie rispettivamente $e^(-t)=1-t+(t^2)/2+o(t^2)$, ed $2cosx=2×(1-t/2+t^2/(24)+o (t^2))=2-t+(t^2)/(12)+o(t^2)$

[dan952]

Essi hai ragione infatti stavo vedendo che usando solo i limiti notevoli si rifinisce in un'altra forma indeterminata

[francicko]

Nel nostro caso nello sviluppo il termine da considerare e' quello
in $t$, e dato che vengono coinvolti termini successivi al termine in $t $, siamo impossibilitati nell'uso dei limiti notevoli , se avessimo avuto a numeratore l'espressione $e^(-t)-1$, allora
potevamo osservare che $e^(-t)-1~-t $, cioe usare l'asintotico che e' equivalente al limite notevole $lim_(t->0)(e^(-t)-1)/(-t)=1$, e risolvere il limite con il semplice uso dei limiti notevoli (asintotici).