Esercizio limite
Ciao!
Data $f(x) = sqrt(1-x)/e^x$, si calcoli:
$lim_(x -> -infty) f(x)$ e $lim_(x -> -infty) f(x)/x$
Per il primo limite ho fatto così:
$lim_(x -> -infty) sqrt(1-x)/e^x = lim_(x -> -infty) e^{-x} sqrt(1-x) = (+infty)*(+infty) = +infty$
Giusto?
Mentre sul secondo sono bloccato. Mi date una mano?
Grazie!
Data $f(x) = sqrt(1-x)/e^x$, si calcoli:
$lim_(x -> -infty) f(x)$ e $lim_(x -> -infty) f(x)/x$
Per il primo limite ho fatto così:
$lim_(x -> -infty) sqrt(1-x)/e^x = lim_(x -> -infty) e^{-x} sqrt(1-x) = (+infty)*(+infty) = +infty$
Giusto?
Mentre sul secondo sono bloccato. Mi date una mano?
Grazie!
Risposte
Ciao,
Per quanto riguarda il secondo limite puoi utilizzare la regola di Hôpital, che viene utilizzata solo qualora si abbiano due tipologie di forme indeterminate: $\frac{\infty}{\infty}$ oppure $\frac{0}{0}$.
Nel tuo caso, scrivendo l'esponenziale come prima, ottieni:
$$\lim_{x\to -\infty} \frac{e^{-x}\cdot \sqrt{1-x}}{x}$$
E sostituendo ottieni $\frac{\infty}{\infty}$ che è proprio una delle due forme previste per l'uso della regola citata.
A questo punto la regola di Hôpital ti dice che in caso di una di queste due forme, il limite della funzione di partenza coincide col limite delle derivate della funzione al numeratore ed al denominatore, in pratica dice che:
$$se \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\infty}{\infty} oppure \frac{0}{0} allora \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$
In cui $a$ è un punto che rende infinite o zero entrambe le funzioni, mentre $f'(x)$ indica la derivata prima.
Occhio che in questo caso devi derivare separatamente le funzioni!!
$f'(x) = -e^{-x}\cdot\frac{-1}{2\cdot\sqrt{1-x}} = \frac{e^{-x}}{2\sqrt{1-x}}$
$g'(x) = 1$
pertanto alla fine hai
$$\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{1-x}}{xe^x} = \lim{x\to -\infty} \frac{1}{2e^x\sqrt{1-x}} = \frac{1}{\infty} = 0$$
Per quanto riguarda il secondo limite puoi utilizzare la regola di Hôpital, che viene utilizzata solo qualora si abbiano due tipologie di forme indeterminate: $\frac{\infty}{\infty}$ oppure $\frac{0}{0}$.
Nel tuo caso, scrivendo l'esponenziale come prima, ottieni:
$$\lim_{x\to -\infty} \frac{e^{-x}\cdot \sqrt{1-x}}{x}$$
E sostituendo ottieni $\frac{\infty}{\infty}$ che è proprio una delle due forme previste per l'uso della regola citata.
A questo punto la regola di Hôpital ti dice che in caso di una di queste due forme, il limite della funzione di partenza coincide col limite delle derivate della funzione al numeratore ed al denominatore, in pratica dice che:
$$se \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\infty}{\infty} oppure \frac{0}{0} allora \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$
In cui $a$ è un punto che rende infinite o zero entrambe le funzioni, mentre $f'(x)$ indica la derivata prima.
Occhio che in questo caso devi derivare separatamente le funzioni!!
$f'(x) = -e^{-x}\cdot\frac{-1}{2\cdot\sqrt{1-x}} = \frac{e^{-x}}{2\sqrt{1-x}}$
$g'(x) = 1$
pertanto alla fine hai
$$\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{1-x}}{xe^x} = \lim{x\to -\infty} \frac{1}{2e^x\sqrt{1-x}} = \frac{1}{\infty} = 0$$
Grazie per la risposta.
Avevo provato ad applicare il teorema di de l'Hopital senza successo, infatti nutro un dubbio sul tuo calcolo della derivata del numeratore. Non dovrebbe essere:
$d/dx [e^{-x} sqrt(1-x)] = -e^{-x} sqrt(1-x) - e^{-x}/{2 sqrt(1-x)} = -{e^{-x}(3-2x)}/{2 sqrt(1-x)}$
Inoltre supponendo che i tuoi calcoli siano esatti, il denominatore dell'ultima espressione non presenta ancora una volta una forma indeterminata del tipo $0*(+infty)$?
Grazie!
Avevo provato ad applicare il teorema di de l'Hopital senza successo, infatti nutro un dubbio sul tuo calcolo della derivata del numeratore. Non dovrebbe essere:
$d/dx [e^{-x} sqrt(1-x)] = -e^{-x} sqrt(1-x) - e^{-x}/{2 sqrt(1-x)} = -{e^{-x}(3-2x)}/{2 sqrt(1-x)}$
Inoltre supponendo che i tuoi calcoli siano esatti, il denominatore dell'ultima espressione non presenta ancora una volta una forma indeterminata del tipo $0*(+infty)$?
Grazie!
Ciao,
Allora si effettivamente mi sono reso conto che ho dimenticato un pezzo. Rifacciamo:
La derivata al numeratore è
$f'(x) = \frac{d}{dx} e^{-x}\sqrt{1-x} = -e^{-x}\sqrt{1-x} - e^[-x}\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$
Ad denominatore ho 1 come prima, pertanto ottengo da calcolare:
$\lim_{x\to -\infty} -e^{-x}\sqrt{1-x} - \frac{e^{-x}}{2\sqrt{1-x}}$
Possiamo unire le frazioni a denominatore comune ottenendo come unione $\frac{e^{-x}\cdot(-2(1-x) - 1)}{2\sqrt{1-x}}$
Il limite per $x$ che tende a $-\infty$ di questo oggetto diviene per ingenua sostituzione
$\lim_{x\to -\infty} \frac{e^{-x}(2x-3)}{2\sqrt{1-x}}$
Che rispecchia la tua derivata quindi è stato un errore mio. A questo punto sostituendo direttamente ottieni infinito sopra ma anche sotto il che implica di nuovo Hopital. Chiamando F e G numeratore e denominatore abbiamo:
$F'(x) = -e^{-x}(2x - 3} + 2e^{-x}$
$G'(x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x}}$
Unendo il tutto si ottiene $\frac{F'}{G'} = -\sqrt{1-x}(-e^{-x}(2x - 3} + 2e^{-x}) = e^{-x}\sqrt{1-x}(2x - 3 - 2) = e^{-x}\sqrt{1-x}(2x - 5)$
Pertanto il limite cercato si ottiene per "sostituzione" diretta del punto e fornisce il valore $-\infty$
Allora si effettivamente mi sono reso conto che ho dimenticato un pezzo. Rifacciamo:
La derivata al numeratore è
$f'(x) = \frac{d}{dx} e^{-x}\sqrt{1-x} = -e^{-x}\sqrt{1-x} - e^[-x}\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$
Ad denominatore ho 1 come prima, pertanto ottengo da calcolare:
$\lim_{x\to -\infty} -e^{-x}\sqrt{1-x} - \frac{e^{-x}}{2\sqrt{1-x}}$
Possiamo unire le frazioni a denominatore comune ottenendo come unione $\frac{e^{-x}\cdot(-2(1-x) - 1)}{2\sqrt{1-x}}$
Il limite per $x$ che tende a $-\infty$ di questo oggetto diviene per ingenua sostituzione
$\lim_{x\to -\infty} \frac{e^{-x}(2x-3)}{2\sqrt{1-x}}$
Che rispecchia la tua derivata quindi è stato un errore mio. A questo punto sostituendo direttamente ottieni infinito sopra ma anche sotto il che implica di nuovo Hopital. Chiamando F e G numeratore e denominatore abbiamo:
$F'(x) = -e^{-x}(2x - 3} + 2e^{-x}$
$G'(x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x}}$
Unendo il tutto si ottiene $\frac{F'}{G'} = -\sqrt{1-x}(-e^{-x}(2x - 3} + 2e^{-x}) = e^{-x}\sqrt{1-x}(2x - 3 - 2) = e^{-x}\sqrt{1-x}(2x - 5)$
Pertanto il limite cercato si ottiene per "sostituzione" diretta del punto e fornisce il valore $-\infty$
Scusate, ma che necessità c'è di ricorrere ad Hopital?
Si può scrivere $lim_(x->-infty)(sqrt(1-x))/(xe^x)=lim_(x->+infty)e^x(sqrt(1+x))/(-x)=lim_(x->+infty)(e^x)sqrt(x)sqrt(1/x+1)/(-x)=lim_(x->+infty)-(e^x)sqrt(x)/x=-infty$, in quanto dal confronto di infiniti è ovvio che il numeratore contenendo un esponenziale va ad infinito più velocemente rispetto alla funzione $x$.
Mi sbaglio?
Si può scrivere $lim_(x->-infty)(sqrt(1-x))/(xe^x)=lim_(x->+infty)e^x(sqrt(1+x))/(-x)=lim_(x->+infty)(e^x)sqrt(x)sqrt(1/x+1)/(-x)=lim_(x->+infty)-(e^x)sqrt(x)/x=-infty$, in quanto dal confronto di infiniti è ovvio che il numeratore contenendo un esponenziale va ad infinito più velocemente rispetto alla funzione $x$.
Mi sbaglio?
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