Esercizio Lagrange

[liam-lover]

"Dimostrare che $ |tanx-tany|>=|x-y| $$AA x,yin (-pi /2,pi /2) $con il teorema di Lagrange."

Va bene questa dimostrazione?


$ (|tanx-tany|)/(|x-y|)>=1 $

con $ x,yin (-pi /2,pi /2) : x>y $

La funzione tan(x) è continua e derivabile nell'intervallo (y,x), quindi posso applicare Lagrange:

$ EE x_0in (y,x) : f'(x_0)=(f(x)-f(y))/(x-y) $

$ EE x_0in (y,x) : 1/(cos^2x_0)=(tanx-tany)/(x-y) $

cioé $ cos^2x_0=(x-y)/(tanx-tany) $

Poiché $ 0<=cos^2x_0<=1 $ , vale:

$ 0<=(x-y)/(tanx-tany)<=1 rArr 0>=(tanx-tany)/(x-y)>=1rArr (tanx-tany)/(x-y)>=1 $

Inoltre $ |tanx-tany|>=tanx-tany $ , $ |x-y|>=x-y $ , quindi:

$ |tanx-tany|/|x-y|>=(tanx-tany)/(x-y)>=1 $

$ |tanx-tany|/|x-y|>=1 $ $ AA x,yin (-pi /2,pi /2) $

[otta96]

"maxira":Inoltre $ |tanx-tany|>=tanx-tany $ , $ |x-y|>=x-y $ , quindi:

$ |tanx-tany|/|x-y|>=(tanx-tany)/(x-y)>=1 $

Questo non va bene perché se diminuisci il denominatore la frazione aumenta, però dato che $tan$ è una funzione crescente puoi scrivere $|tanx-tany|/|x-y|=(tanx-tany)/(x-y)$ e così torna tutto.

[liam-lover]

Grazie!