Esercizio - Integrazione dell'arcoseno

[Seneca1]

$int arcsin(sqrt( 1 - x^2) ) dx$

Ponendo $x = cos(t)$ , da cui $dx = - sin(t) dt$ , si ottiene:

$ = - int arcsin( sin(t) ) sin(t) dt = - int t sin(t) dt$

Ricordo che la funzione ausiliaria $x = phi(t)$ che si usa nelle integrazioni per sostituzione, quando si ha a che fare con un integrale indefinito, è richiesta invertibile. Il coseno invertibile in $[ 0 , pi ]$.

Ora per parti:

Scelgo $f'(t) = sin(t)$ come fattor differenziale e $g(t) = t$ come fattor finito:

$- int t sin(t) dt = - ( - t cos(t) ) - int cos(t) dt = t cos(t) - sin(t) + C$

Da cui: $= arccos(x) cos(arccos(x)) - sin(arccos(x)) + C$

$= arccos(x) x - sqrt( 1 - x^2) + C$ (*)

Tuttavia il risultato datomi da Derive è il seguente $pi x/2 - SIGN(x) (x * arcsin(x) + sqrt(1 - x^2) - 1)$. E, ancor peggio, derivando (*) ottengo $arccos(x)$.

Credo che il problema sia dovuto agli intervalli di invertibilità del seno e del coseno, ma vorrei avere qualche delucidazione.

[Gi81]

Penso che la tua soluzione non sia sbagliata. Infatti $arccos(x)=arcsin(sqrt(1-x^2))$

Posto $alpha=arcsin(sqrt(1-x^2))$, si ha
$sin(alpha)=sqrt(1-x^2)=> sin^2(alpha)=1-x^2=> x^2=1-sin^2(alpha)=> x=sqrt(1-sin^2(alpha))=cos(alpha)=> arccos(x)=alpha$
Quindi $arccos(x)=arcsin(sqrt(1-x^2))$, in un opportuno intervallo, ovviamente

[Seneca1]

Grazie della conferma...