Esercizio integrali tripli...
Si calcoli $ int int int_(C)(x^2+y^2)^(1/2)dx dy dz $, dove C è il cono di vertice nel punto (0,0,-2), avente per base il cerchio di centro l'origine e raggio 1, contenuto nel piano xy. Vorrei confrontare con voi il ragionamento condotto, al di là dei calcoli. Allora ho pensato di effettuare un passaggio alle coordinate cilindriche, imponendo il tutto in tal modo: mi muovo sul piano xy con coordinate polari, il problema sorge sulla terza componente, che non posso lasciare inalterata come nel caso del cilindro. La domanda che sorge è: esiste una qualche parametrizzazione peculiare per il cono? Ringrazio per la collaborazione, nell'attesa di ulteriori interventi da parte del sottoscritto. 
Risposte
Coordinate coniche? Come superficie questa, ad esempio (per il cono con vertice nell'origine)
$x=v\cos u,\ y=v\sin u,\ z=v$
in quanto $x^2+y^2=z^2$.
Ma qui parliamo del volume ed è meglio lavorare con coordinate cilindriche: altrimenti dovresti porre la coordinata $v$ precedente dipendente da una terza coordinata $t$ che ti permetta di prendere tutti i valori interni al cono, e ti assicuro che viene un "inguacchio"!
$x=v\cos u,\ y=v\sin u,\ z=v$
in quanto $x^2+y^2=z^2$.
Ma qui parliamo del volume ed è meglio lavorare con coordinate cilindriche: altrimenti dovresti porre la coordinata $v$ precedente dipendente da una terza coordinata $t$ che ti permetta di prendere tutti i valori interni al cono, e ti assicuro che viene un "inguacchio"!
Giuro che non sapevo del nome "coordinate coniche", ma c'avevo pensato ad una cosetta del genere. Grazie, ciampax, ti farò sapere se è andata la cosa!
Orbene, ho pensato che fosse meglio rifarsi alle cilindriche, date le non semplici implicazioni che recava la problematica. La trasformazione adoperata è:
$ { ( x=rhocostheta ),( y=rhosintheta ),( z=-2+z ):} $ , laddove $ z $ la si ricava proprio dall'equazione del cilindro. Che ne dici? Soluzione troppo articolata?
$ { ( x=rhocostheta ),( y=rhosintheta ),( z=-2+z ):} $ , laddove $ z $ la si ricava proprio dall'equazione del cilindro. Che ne dici? Soluzione troppo articolata?
Ma l'equazione cartesiana del cono te la sei scritta prima?
$ z^2=x^2+y^2 $
Quella è di un cono circolare retto con vertice nell'origine e direttrici che seguono le bisettrici dei piani xOz e yOz: nel tuo caso il vertice è $(0,0,-2)$ mentre la direttrice del cono è data dalle rette del fascio passante per tale punto e formanti con l'asse z un angolo per cui $\tan\theta=1/2$ (sai perché?).
"ciampax":
Quella è di un cono circolare retto con vertice nell'origine e direttrici che seguono le bisettrici dei piani xOz e yOz: nel tuo caso il vertice è $(0,0,-2)$ mentre la direttrice del cono è data dalle rette del fascio passante per tale punto e formanti con l'asse z un angolo per cui $\tan\theta=1/2$ (sai perché?).
Si, ma infatti io nel sistema di equazioni adoperato, ho compiuto una sorta di "traslazione" sulla terza componente. Non so se sono stato chiaro. D'altra parte, come posso trovare in generale l'equazione di un cono?
La traslazione cale poco: il fatto è che il cono che hai scritto tu non ha la stessa apertura di quello originale. Per trovare l'equazione, basta capire che forma ha una delle rette che determinano la direttrice del cono. Visto che nel piano xOz ($y=0$) essa passa per $(0,0,-2)$ e per $(1,0,0)$ (la base è la circonferenza del piano xOy di raggio 1), segue che una tale retta ha equazione $z=2x-2,\ y=0$. Per la simmetria del cono, allora $(z+2)^2=4(x^2+y^2)$.
Caspita Ciampax, non sapevo di questa strutturazione dell'equazione del cono. Sostanzialmente è come se si applicasse il teorema di Pitagora per determinare quest'equazione. In tal modo applicando alla terza componente quella trasformazione l'integrale dovrebbe riuscire. Grazie ancora per il suggerimento.
Non riesco a comprendere da cosa derivi il 4.
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