Esercizio integrale proprio

[marty.nani1]

Buongiorno,
no riesco a risolvere questo integrale con parametro t.
$ int_(0)^(pi) cosx/(1+tcosx) dx $ , dove t $ in $ (-1,1).
La soluzione con un passaggio è: $ pi/t - int_(0)^(pi) 1/(1+tcosx) dx = pi/t(1-1/sqrt(1-t^2)) $
Grazie in anticipo.

[anto_zoolander]

Allora.. intanto l'integrale non è improprio, ma ce lo facciamo diventare
C'è il caso particolare $t=0$

$int_(0)^(pi)cos(x)dx=int_(0)^(pi)sin(pi/2-x)dx$

il punto $x=pi/2$ è un punto di simmetria. Inoltre la funzione è 'dispari' rispetto alla retta $x=pi/2$, su di un intervallo simmetrico. Quindi l'integrale fa $0$. (un modo elegante per non svolgere l'integrale )

trattiamo dunque il caso $tin(-1,0)cup(0,1)$

$intcos(x)/(1+tcos(x))dx=1/tint_(0)^(pi)[(1+tcos(x))/(1+tcos(x))-1/(1+tcos(x))]dx$

$1/tint_(0)^(pi)[1-1/(1+tcos(x))]dx=[t]_(0)^(pi)/t-1/tint_(0)^(pi)1/(1+tcos(x))dx$

$pi/t-1/tint1/(1+tcos(x))dx$ ora vediamo di fare uscire qualcosa di utile.

pongo $cos(x)=(1-z^2)/(1+z^2)$ e $z=tan(x/2)<=>x=2arctan(z)$

$dx=2/(1+z^2)dz$

su che intervallo lavoriamo?

se $x=0$ allora $z=0$
nota che ora dobbiamo rendere improprio l'integrale. Se $x->0^+$ allora $z->+infty$

$pi/t-1/tint_(0)^(+infty)1/(1+t*(1-z^2)/(1+z^2))*(2dz)/(1+z^2)=pi/t-2/tint_(0)^(+infty)1/(1+z^2+t-t*z^2)dz$

finisco di riscrivere il tutto..

$pi/t-2/tint_(0)^(+infty)1/((1+t)+z^2(1-t))dz$

ora per comodità chiamo $1+t=a$ e $1-t=b$

$pi/t-2/tint_(0)^(+infty)1/(a+b*z^2)dz=pi/t-2/(at)int_(0)^(+infty)1/(1+(zsqrt(a/b))^2)dz$

ah prima di continuare, stavo dimenticando la convergenza
chiamo un attimo $sqrt(a/b)=sqrtk$

$1/(1+k*z^2)$\(\displaystyle \sim \)$1/(kz^2)$ per $z->+infty$

$1/kint_(n)^(+infty)1/z^2dz=1/k[-1/z]_(n)^(+infty)=1/(kn)$

non mi interessa cosa succede nell'altro estremo, mi interessa solo la convergenza a $+infty$ e converge, quindi siamo a cavallo. In particolare grazie a questo risultato possiamo praticare la sostituzione e rendere l'integrale improprio. L'altro estremo sarebbe $0$, ma in $0$ la funzione vale $1$ dunque è continua, quindi non mi vado a cercare per forza una funzione che sia definita sullo stesso intervallo, mi basta che si comportino allo stesso modo in un intorno di $+infty$.

Inoltre $a>0veeb>0$ poiché $tin(-1,1)$ quindi siamo felici per quanto riguarda le radici.

$pi/t-2/(at)*sqrt(a/b)int_(0)^(+infty)(sqrt(a/b))/(1+(zsqrt(a/b))^2)dz$

$pi/t-2/(tsqrt(ab))[arctan(zsqrt(a/b))]_(0)^(+infty)$

in $0$ quella cosa li dentro vale $0$, mentre $lim_(z->+infty)[arctan(zsqrt(a/b))]=pi/2$

$pi/t-2/(tsqrt((1-t)(1+t)))*pi/2=pi/t[1-1/(sqrt(1-t^2))]$ siamo felici