Esercizio Integrale irrazionale.
Raga ho un problema con questo integrale:
$int (dx)/root(3)((4x-3)^2)$ non riesco a capire quale sostituzione applicare.
Il risultato dovrebbe essere$3/4root(4)(4x-3)+c$.
Io ho provato a fare questa sostituzione $t=root(3)(4x-3)$ ma nn mi è risultato.
$int (dx)/root(3)((4x-3)^2)$ non riesco a capire quale sostituzione applicare.
Il risultato dovrebbe essere$3/4root(4)(4x-3)+c$.
Io ho provato a fare questa sostituzione $t=root(3)(4x-3)$ ma nn mi è risultato.
Risposte
"identikit_man":
Raga ho un problema con questo integrale:
$int (dx)/root(3)((4x-3)^2)$ non riesco a capire quale sostituzione appliacare.
Il risultato dovrebbe essere$3/4root(4)(4x-3)+c$.
Io ho provato a fare questa sostituzione $t=root(3)(4x-3)$ ma nn mi è risultato.
Sostituisci solo $4x-30t$ e ricorda che $root(n)(a^m)=a^{m/n}$.
ci ho provato facendo la sostituzione $4x-3=t$ e quindi poi ricavando la x e ricavando la derivata ottengo $dx=1/4dt$ e poi giungo al risultato finale $1/4root(3)(4x-3)$; che non è però il risultato del libro in quanto deve essere radice quarta e non cubica.
La derivata della soluzione del libro è $3/4*1/root(4)((4x-3)^3)$.
La derivata della tua soluzione $1/{3 root(3)(4x-3)^2}$.
Quindi mi sa che hai ragione tu (anche se ti manca un $3$ nella soluzione).
Oppure hai sbagliato a scrivere la traccia!
La derivata della tua soluzione $1/{3 root(3)(4x-3)^2}$.
Quindi mi sa che hai ragione tu (anche se ti manca un $3$ nella soluzione).
Oppure hai sbagliato a scrivere la traccia!
$f(x)=(4x-3)$ -> $f'(x)=4$
$int\1/4*f(x)^(-2/3)*f'(x)\dx=1/4*(f(x)^(1/3))*3+C=3/4*root(3)(4x-3)+C$
questa dovrebbe essere la soluzione. ricontrolla. ciao.
$int\1/4*f(x)^(-2/3)*f'(x)\dx=1/4*(f(x)^(1/3))*3+C=3/4*root(3)(4x-3)+C$
questa dovrebbe essere la soluzione. ricontrolla. ciao.
Risultato sbagliato del libro...
Strano come qualcosa di stampato, ma evidentissimamente sbagliato (nel nostro caso basta derivare per accorgersi dell'errore), mandi profondamente in crisi gli studenti; proprio ieri mi è capitato di "ricevere" due studenti depressi perchè non si trovavano con un risultato del Marcellini-Sbordone: ovviamente loro avevano fatto bene i conti e c'era un errore di stampa.
Strano come qualcosa di stampato, ma evidentissimamente sbagliato (nel nostro caso basta derivare per accorgersi dell'errore), mandi profondamente in crisi gli studenti; proprio ieri mi è capitato di "ricevere" due studenti depressi perchè non si trovavano con un risultato del Marcellini-Sbordone: ovviamente loro avevano fatto bene i conti e c'era un errore di stampa.
"Gugo82":
Risultato sbagliato del libro...
Strano come qualcosa di stampato, ma evidentissimamente sbagliato (nel nostro caso basta derivare per accorgersi dell'errore), mandi profondamente in crisi gli studenti; proprio ieri mi è capitato di "ricevere" due studenti depressi perchè non si trovavano con un risultato del Marcellini-Sbordone: ovviamente loro avevano fatto bene i conti e c'era un errore di stampa.
La cosa più strana, è vedere che chi risolve gli esercizi non si metta neanche a riflettere se ciò che gli viene suggerito come soluzione possa funzionare: quella del libro doveva essere per forza sbagliata come soluzione! Non puoi passare da una radice con un certo indice ad una con un indice diverso se integri. Questo è indice di quanto, buona parte degli studenti che affrontano corsi di matematica, non abbiano assolutamente senso critico e non ci mettano nemmeno un po' di logica nell'affrontare gli esercizi che vengono proposti! La tua Firma, giorno dopo giorno, tende ad assumere un senso sempre più inquietante!
Grazie ciampax; ma io l'avevo già pensato che potesse essere sbagliato; anche perchè l'esercizio l'ho fatto in tutti i modi possibili.Solo che ho preferito postare qui xkè ci sn persone che ne capiscono molto più di me e quindi un parere in più mi avrebbe dato la certezza che il ris del libro fosse sbagliato.Cmq alla fine il risultato è quello postato da adaBTTLS.Cmq grazie 1000 per l'aiuto.Ho un osservazione da porvi:
Io ho un esercizio del genere:
$int x/sqrt(1-x^2)dx$ ora io l'ho già risolto applicando la sostituzione $1-x^2=t$ e il risultato trovato è $-sqrt(1-x^2)+c$.Ora leggendo la teoria ho visto come si risolvono gli integrali irrazionali del tipo $int R(x,sqrt(x^2+x+1))$.Ora l'integrale del mio esercizio non rientra in questo caso; e soprattutto nel sottocaso in cui $b^2-4ac>0$ e $a<0$?
Io ho un esercizio del genere:
$int x/sqrt(1-x^2)dx$ ora io l'ho già risolto applicando la sostituzione $1-x^2=t$ e il risultato trovato è $-sqrt(1-x^2)+c$.Ora leggendo la teoria ho visto come si risolvono gli integrali irrazionali del tipo $int R(x,sqrt(x^2+x+1))$.Ora l'integrale del mio esercizio non rientra in questo caso; e soprattutto nel sottocaso in cui $b^2-4ac>0$ e $a<0$?
prego.
sono andata a controllare in uno testo dello scientifico che cosa volessi dire.
la categoria trovata è $int\f(x; sqrt(ax^2+bx+c))dx$, con $a<0$: $b^2-4ac>0$ necessariamente, altrimenti il radicando sarebbe sempre negativo.
in tal caso il tuo integrale rientra nella "categoria", perché $a=-1$ ...
sono andata a controllare in uno testo dello scientifico che cosa volessi dire.
la categoria trovata è $int\f(x; sqrt(ax^2+bx+c))dx$, con $a<0$: $b^2-4ac>0$ necessariamente, altrimenti il radicando sarebbe sempre negativo.
in tal caso il tuo integrale rientra nella "categoria", perché $a=-1$ ...
Quindi risolvendolo con il metodo previsto per questo per questo tipo di integrale; dovrei giungere allo stesso risultato.Ora ci provo e vediamo cosa viene fuori.
Faccio una osservazione: in generale si possono presentare 3 tipi differenti di radicali (di indice due) con radicandi di ordine due, e cioè i seguenti
$\sqrt{x^2-a^2},\qquad \sqrt{x^2+a^2},\qquad\sqrt{a^2-x^2}$
(il radicale $\sqrt{rx^2+px+q}$ si può sempre mettere sotto una di queste tre forme, operando quello che viene detto metodo del completamento del quadrato).
Per risolvere integrali contenenti i radicali precedenti, di solito vengono consigliate le seguenti sostituzioni, che ti indico nell'ordine
$\sqrt{a^2-x^2},\qquad x=a\sin t,\qquad \sqrt{a^2-x^2}=|a|\cos t,\qquad dx=a\cos t\ dt$
$\sqrt{a^2+x^2},\qquad x=a\sinh t,\qquad \sqrt{a^2+x^2}=|a|\cosh t,\qquad dx=a\cosh t\ dt$
$\sqrt{x^2-a^2},\qquad x=a\cosh t,\qquad \sqrt{x^2-a^2}=|a|\sinh t,\qquad dx=a\sinh t\ dt$
e procedere poi a calcolare l'ntegrale che è venuto fuori.Se hai domande, chiedi.
$\sqrt{x^2-a^2},\qquad \sqrt{x^2+a^2},\qquad\sqrt{a^2-x^2}$
(il radicale $\sqrt{rx^2+px+q}$ si può sempre mettere sotto una di queste tre forme, operando quello che viene detto metodo del completamento del quadrato).
Per risolvere integrali contenenti i radicali precedenti, di solito vengono consigliate le seguenti sostituzioni, che ti indico nell'ordine
$\sqrt{a^2-x^2},\qquad x=a\sin t,\qquad \sqrt{a^2-x^2}=|a|\cos t,\qquad dx=a\cos t\ dt$
$\sqrt{a^2+x^2},\qquad x=a\sinh t,\qquad \sqrt{a^2+x^2}=|a|\cosh t,\qquad dx=a\cosh t\ dt$
$\sqrt{x^2-a^2},\qquad x=a\cosh t,\qquad \sqrt{x^2-a^2}=|a|\sinh t,\qquad dx=a\sinh t\ dt$
e procedere poi a calcolare l'ntegrale che è venuto fuori.Se hai domande, chiedi.
Allora io ho letto che nel caso in cui $b^2-4ac >0$ e $a<0$ allora in questo caso possiamo scrivere $sqrt(ax^2+bx+c) = t(x- \alpha)$ dette $\alpha$ e $\beta$ le radici del polinomio di secondo grado; con $\alpha < \beta$; e quindi poi possiamo scrivere:
$ax^2+bx+c = t^2(x-\alpha)^2$
$a(x- \alpha)(x- \beta) = t^2(x- \alpha)^2$
$a(x- \beta)= t^2 (x- \alpha)$ e quindi possiamo rivavare $x= (a\beta - \alphat^2)/(a-t^2)$
$ax^2+bx+c = t^2(x-\alpha)^2$
$a(x- \alpha)(x- \beta) = t^2(x- \alpha)^2$
$a(x- \beta)= t^2 (x- \alpha)$ e quindi possiamo rivavare $x= (a\beta - \alphat^2)/(a-t^2)$
Anche.... ma gli integrali così risultano, in linea di massima, più difficili da calcolare.
Allora utilizzando questo metodo, o quello che mi hai consigliato tu cmq giungo allo stesso risultato del libro cioè $-sqrt(1-x^2)$.Premetto che io l'ho risolto con la semplice sostituzione $1-x^2=t$.Praticamente ci sn 3 metodi diversi per risolverlo? giusto o sbaglio?
Beh, quello che stavi risolvendo tu, ha un che di particolare: il fatto che al numeratore è presente la derivata dell'argomento della radice!
Prova ad usare la sostituzione $1-x^2=t$ con l'integrale
$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ dx$
e ti accorgerai che le cose si complicano notevolmente.
Prova ad usare la sostituzione $1-x^2=t$ con l'integrale
$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ dx$
e ti accorgerai che le cose si complicano notevolmente.
Ok grazie 1000 ho capito.Un ultima cosa approfitto della tua gentilezza.Questo tipo di integrale:
$int (1+senx)/(x-cosx)^2 dx$ il cui risultato è $1/(cosx-x)+c$ con quale tipo di sostituzione lo posso risolvere?Io ho pensato di usare le equazioni parametriche di seno e coseno.Esiste un metodo generale di sostituzione per risolverlo?
$int (1+senx)/(x-cosx)^2 dx$ il cui risultato è $1/(cosx-x)+c$ con quale tipo di sostituzione lo posso risolvere?Io ho pensato di usare le equazioni parametriche di seno e coseno.Esiste un metodo generale di sostituzione per risolverlo?
Prova a sostituire il denominatore con $t$, cioè $t=x-\cos x$, e a derivarlo così come è scritto, senza ricavare la $x$.... troverai qualcosa di interessante!
Hai ragione facendo la derivata trovo esattamente $dt=1+senx dx$; quest'integrali fanno uscire pazzo.Ci vuole sempre intuito.Ma se avessi usato le equazioni parametriche sarei giunto allo stesso risultato?
Non credo saresti andato molto lontano con le parametriche: quelle vanno usate solo quando appaiono funzioni trigonometriche, mentre qui c'è anche la $x$ che andava sostituita con $2\tan t$... la cosa si sarebbe fatta alquanto orrenda!
Grazie 1000...per l'aiuto mi hai tolto molti dubbi.
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