Esercizio integrale indefinito

[Pablitos23]

Da pochi giorni sto studiando il calcolo integrale per l'esame del 15 febbraio. Conosco l'integrazione per parti e sostituzione e la decomposizione delle funzioni razionali nell'integrale.
Mi indirizzate sullo svolgimento del seguente integrale??

$\int (cosx)^3/((2-cos^2x)sinx)dx$

Grazie

[Lo_zio_Tom]

Esprimi $ cos^2 x =1-sen^2x $

E poni $ senx=t $...poi è semplice

[Pablitos23]

Ho provato a fare così:

$\int ((1-sin^2x)cosx)/((1+sin^2x)sinx) dx = $

Sostituisco ora?

[Lo_zio_Tom]

Sì. Perfetto. .

[Pablitos23]

Quindi:

$t=sinx$

$x=arcsinx$

$dx=1/(sqrt(1-x^2)) dt$


$\int ((1-t^2)cosx)/((1+t^2)t * sqrt(1-arcsin^2t)) dt = $

Lo so che non va bene. Non so come faccia il cosx a rimanere fedele alla variabile rispetto la quale stiamo integrando.

[Pablitos23]

Ho sbagliato tutto su.

$t=sinx$
$dt=cosx dx$

$-\int (1-sin^2x)/((1+sin^2x)sinx) d(sinx) = -\int (1-t^2)/((1+t^2)t) dt = $

Adesso devo decomporre la funzione razionale.

[Pablitos23]

$(1-t^2)/((1+t^2)t) = A/t + B/(t^2+1) + C/(t^2+1)$

[Lo_zio_Tom]

Il $-$ davanti all'integrale non ci va

$ d senx= cosx dx $

[Lo_zio_Tom]

E la scomposizione è sbagliata

$ A/t+(Bt+C )/(1+t^2) $

[Pablitos23]

$(1-t^2)/((1+t^2)t) = A/t + B/(t^2+1) + (Ct)/(t^2+1)$

Si scusa devo rallentarmi un pò. Ma è x vicino la C?


$1-t^2 = A + Bt + t^2(A+C)$

Quindi:

$\{(A=1),(A+C=-1),(B=0):}$

[Lo_zio_Tom]

E ottieni

$1/t-(2t )/(1+t^2) $

Da qui è immediato

[Pablitos23]

SOLUZIONE COMPLETA

$\int (cos^3x)/((2-cos^2x)sinx) dx = \int ((1-sin^2x))/((1+sin^2x)sinx) d(sinx) = $

$t=sinx$
$dt =cosx dx$

$ = \int (1-t^2)/((1+t^2)t) dt =$

Adesso procedo con la decomposizione di $(P(x))/(Q(x))$ dove $deg(P(x))
$(1-t^2)/((1+t^2)t) = A/t + B/(t^2+1) + (Ct)/(t^2+1)$

$1-t^2 = A + Bt + t^2(A+C)$

Quindi si stende il sistemino:

$\{ (A=1),(B=0), (A+C=-1):}$

Allora:

$(1-t^2)/((1+t^2)t) = 1/t - (2t)/(t^2+1)$

L'integrale si riduce nel risolvere:

$\int 1/t dt - \int (2t)/(t^2+1) dt = log|t| - log(t^2+1) +c = $
$= log|sinx| - log(sin^2x+1) + c =$
$= log|sinx| - log(3-cos(2x)) +c $

Grazie

[Lo_zio_Tom]

C'è ancora un piccolo errore

$ int1/tdt= log|t| +c $

[Lo_zio_Tom]

E nn capisco l'ultimo passaggio

[Pablitos23]

L'ultimo passaggio l'ho ricavato dalla formula di duplicazione del coseno:

$cos(2x) = 1- 2sin^2x$

Quindi:

$sin^2x = (1-cos(2x))/2$

L'ho modificato il modulo di $log|t|$, all'altro non ci va dato che $t^2+1$ sarà sempre maggiore di 0?

[Lo_zio_Tom]

Esattamente.

[Lo_zio_Tom]

Intendevo dire perché l'ultimo passaggio? Ci ho messo un po' a capirlo. ...na non ne vedo l'utilità. ...

[Pablitos23]

Bho! Me la ricordavo la formula di duplicazione e infatti non penso sia fondamentale.
Sembrano corretti i calcoli.


Ho appena controllato e anche su WolframAlpha usa la formula di duplicazione alla fine. Infatti si trova

Link soluzione:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%28cos^3%29%2F%28%282-cos^2x%29sinx%29